Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
тождественны. Системы (4.9) на компонентах границы Г3 (у2 - 0) и Г3 (уз =
0) для модели VIII типа эквивалентны (переходят одна в другую при
перестановке координат q2 и q3). Поэтому для изучения поведения метрики
модели VIII типа вблизи космологической особенности (т. е. динамической
системы (4.9) в окрестности компонент границы Г19 Г2, Г3, Tw) остается
рассмотреть динамическую систему на компоненте границы Г2.
§ 7] КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ VIII, VIIo И VI" ТИПОВ 91
Динамическую систему на Г2 удобно исследовать в локальных координатах Fx
(4.11). Система (4.12) для космологической модели VIII типа имеет вид
й = w2 (- у2 - уз - 1) - uw2 (у2 (уа - у2 - 1) +
+ Уз (У2 - Уз - 1)) + (2и - 1) Н2,
= W {-J2_(l + j/2)_+ уз (1 +у3)) -
- v2w2{y2{yз - уг - 1) + у3 {уг - Уз - 1)) + 2vtHt, (7.1)
w = w [й - 1 - w2 (у2 {уз - у2 - 1) + уд (г/2 - у3- 1)) + 2#2],
Si = У2 (1 + - 2й), уз = у3 (1 - - 2"), ^ = ft (й - 1).
Здесь
Н2 = 11 - (й - I)2 - г;2 + й>2 (- (уг - yz)г - 2 (у2 - у3) - 1)].
Условие положительности энергии Я2 > 0 вырезает над каждой точкой
сферического треугольника Д компактный эллипсоид в соответствующих
координатах й, г;2, й. Лишь над точкой уг - О, У2 = ?/з - 1/1^2
координата гг; неограничена (в точке Т\ w = - оо). Компонента границы Г2
диффеоморфна произведению Ds X /, здесь Z)3 - половина (гг; 0) эллипсоида
в координатах й, г;2, йт, / представляет собой отрезок определения
координаты у3: при 0 < уд < е мы используем координату у3 и локальную
карту Fb а при уз > е - координату = 1/у3 и локальную карту F3. Основания
Г2 - D3 X 0 и D3 X 1 - совпадают с углами У1? Y3. Динамическая система на
У19 У3 изучена вьппе (см. §§ 5, 6), где, в частности, найдено, что на Y\
находятся отталкивающие (на Yi) особые точки Nx и N3, причем из Г2вних
входит одномерная сепаратриса. Оказывается что внутри Г2 есть
единственная особая точка, которая на этом многообразии является
отталкивающей.
Запишем систему (7.1), используя вместо v2 координату х = = 2 и -]- v 2 -
1:
х = хй>2 [у3 (Уз + 1) + г/2 (у2 + 1 - 2у3)] + 2хН3 +
+ 2w2 \ф, - 1 - уг (у2 + 1)],
У з = - Уз*,
й =w2 (- у2 - уз - 1) - йй>2 (г/2 (ул - у2 - 1) +
+ Уз (г/2 - Уз~ 1)) + (2й - 1) Н2, (7.9)
w = w[u - l- w2(y2 (Уз - У2 - 1) + Ул{уг-уз-1)) + 2Я2],
J/2 = Уг (2 + я - 4й), 4i = <h(H-1),
Яг= (1~'^-[1 - (й - I)2 - (х - 2й + 1)24-
+ (--(*/2--Уз)2---2 (у2 + Уз) - 1)] •
92
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. IX
Особые точки системы (7.2) при у3 Ф 0, w Ф 0 обязаны лежать на
инвариантном многообразии х = О, ys = 1, у2 = 0. Рассмотрим систему (7.2)
на этом многообразии:
й = 2w% (й - 1) + (2ц - 1) Н2 = /-, (7.3) w = w (и - 1 + 2м;2 + 2Я2) = /-
.
Здесь
(т-5 ((r)-5-)'-(r)')
Система (7.3) при То ф 0 имеет единственную особую точку М2 с ко-
3 + к _ (1 + 2к - 3/с2)1/2 п .
ординатами 1г= , w =--------.5"Л"й-- * Собственные числа
системы (7.2) в этой особой точке имеют вид (в скобках указаны
соответствующие собственные направления)
= ^±1(1 + б/с),/г), (в, Mi); Х3 = - 2 , (у2);
(7.4)
K&=l^±i w-sni+m)'1'.' {х,дз).
К = - 2^гт' Ы*
Таким образом, на компоненте границы Г2 особая точка М2 является
отталкивающей. Отрицательным собственным числам Х3, А,6 отвечает входящая
в особую точку М2 двумерная неустойчивая сепаратриса. Соответствующие
решения имеют при t 0 асимптотику
д2 " С4\ Яг-qs- Сг&-*>/м. (7.5)
В этой асимптотике q2 изменяется как в таубовской асимптотике
(6.11), a qx и q3 изменяются как в асимптотике (6.10).
На рис. 12 показаны особые точки динамической системы на компактном
многообразии S для модели VIII типа. Вместо отрезков особых точек Г2 и Т3
модели IX типа здесь появились изолированные точки М% и М3. Остальные
особые точки вместе со всеми их собственными числами совпадают в обеих
моделях. Соответственно этому многие сепаратрисы также совпадают;
исключением являются сепаратрисы, идущие внутри Г2 и Г3. На Г2 кроме
отталкивающей особой точки М2, неустойчивых особых точек N±, N3 и
некоторых дуг окружностей есть полностью притягивающие (на Г2) особые
точки дуг ф21, 1) и (Р23, 3). Из этого, конечно, не следует, что
сепаратрисы, выходящие из М2, идут в особые точки на этих дугах, так как,
вообще говоря, могут существовать инвариантные многообразия внутри Г2, на
которые наматываются
косМологичЕСкиЕ МоДейй vili, Viio й Vio ТиПбй 93
сепаратрисы. Для модели IX типа отсутствие таких инвариантных
многообразий на Г * следовало из существования монотонных функций Ft
(6.18). Для модели VIII типа докажем менее сильное утверждение: на
компоненте границы Г2 не существует гладкого
/И,*
А.
% а?
г,
-г,°
Рис. 12. Особые точки динамической системы (4.9) на многообразии S для
од-нородной космологической модели VIII типа.
трехмерного инвариантного относительно системы (7.1) многообразия W,
содержащего внутри себя особую точку М2. Действительно, если такое
многообразие W существует, то оно пересекается с двумерным инвариантным
многообразием х = 0, у3 = 1, у2 = 0, проходящим через точку М2, по
