Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
некоторому циклу - замкнутой траектории системы (7.3). Однако легко
доказать, что система (7.3), рассматриваемая в области Н2 > 0, То 0, не
имеет циклов. Действительно, справедливо тождество
41*1 и) , 2ш , 2 р 1
-Ш-------1----+ ^<°, где F0 = •==-.
0U' dw Н2 w у)Нъ
Поэтому, согласно критерию Дюлака - Бендиксона, циклов нет.
Отметим, что фазовый портрет^ динамической системы (7.3), определенной в
половине эллипса Н2 > 0, w 0, качественно тот же, что и фазовый портрет
системы (5.8) (рис. 13). Система (7.3)
94
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
в рассматриваемой области имеет отталкивающую особую точку М2,
притягивающую особую точку а2 (принадлежащую отрезку Л2) с координатами й
= 1/5, w = 0 и две неустойчивые особые точки: точку Ф2 (й - 1/2, Тй = 0),
принадлежащую отрезку Ф2, и точ-ку d2 (й = 1, w - 0), принадлежащую
отрезку Z?2.
Все сепаратрисные переходы между особыми точками, лежащими на компонентах
границы 1\ и Г^, для модели VIII типа тождественно то же, что и для
модели IX типа. В частности, все сепаратрисные переходы между особыми
окружностями (о|), к) те же, что и в сепаратрисной диаграмме (табл. 3).
Поэтому все выводы о свойствах колебательного режима поведения метрики
модели
IX типа вблизи особенности, сделанные в § 6, в равной мере относятся и
к модели VIII типа.
Так же как и в п. VIII § 6, докажем следующую теорему.
Теорема. Осесимметричные метрики (q2 = q$) модели VIII типа имеют вблизи
особенности qxq2q3 = 0 одну из асимптотик (при t -> 0) (6.26), (6.27),
(6.28). При расширении пространства (t оо) все осесимметричные метрики
имеют асимптотику
qi ~ Ci, q2 = qs ж C2t\ (7.6)
Рассматриваемый класс метрик описывается системой (7.1)
на инвариантном многообразии у2 = у3, v2 = 0. Эта система в новых
координатах й, w, v = Щчо, qx и времени т2:
dx2 1 w
dt
Рис. 13. Фазовый портрет динамической системы (7.3) в области, выделенной
физическими условиями Н2 ^ 0, w ^ 0.
имеет вид
и = - и>г - 2у2 + 2uv2 + (2и - 1) #2, й) = w (й - 1 + 2у2 + 2Нг),
v = - v (- А; (1 - 4у3) - (1 - к) (й - I)2 - (1 - к) ги2),
(7.7)
q1=q1 (и - 1).
Здесь
Н% - -г- (1 - (й - I)2 - tv2 - 4у2).
Условие Н% 0 выделяет эллипсоид (а причем w 0, v 0.
I)2 + w2 + 4у2 1,
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ VIII, VII" И VI0 ТИПОВ
95
Функция | г; | в силу системы (7.7) монотонно убывает, поэтому в сторону
сжатия каждая траектория прижимается к плоскости i; = 0. Система (7.7) на
плоскости v = 0 тождественно совпадает с системой (6.29) при v = 0.
Совпадают также все собственные числа особых точек, поэтому утверждение
об асимптотиках в сторону сжатия доказано в п. VIII § 6.
В обратную сторону по времени функция | v | монотонно растет. Отсюда
следует, что все физические траектории (v Ф 0, w Ф 0) входят в
притягивающую (в сторону расширения) особую точку (v = - 1/2, й - 1, w -
0) (других особых точек при v Ф 0 нет). В этой особой точке X- - - 1/2,
Xv - - fc, X- = - 1/2, XQl = 0. После пересчета в синхронное время t
получаем асимптотику
(7.6).
При вложении осесимметричных метрик в общие метрики модели VIII типа
притягивающая в сторону расширения особая точка (и - - 1/2, й t= 1, w =
0) переходит в притягивающую особую точку Тх.
VII0 тип. Динамическая система (4.9) для космологической модели VII0 типа
(лгх - 1, п2 - 1, п3 = 0) содержит замкнутую подсистему, совпадающую с
системой (6.1) для модели IX типа на компоненте границы Г3, которая
поэтому и является компактным многообразием S для модели VII0 типа.
Особые точки динамической системы (6.1) на Г3 показаны на соответствующей
части рис. 9. Две дуги (p31, 1) и (|332, 2) на окружностях (г[), 1) и
(я|), 2) состоят из притягивающих на Г3 особых точек (см. табл. 2
собственных чисел на стр. 70). Решения, соответствующие траекториям
динамической системы на Г3, входящим в эти притягивающие особые точки,
имеют при t -> 0 устойчивую казнеровскую асимптотику
gt ss Pt = 1 + V2Si. (7.8)
На дугах ((3S1, 1) и (f}32, 2) имеем s3 < - 1/]/"2, поэтому р3 < 0 и в
указанных асимптотиках g1? д2 Яз °°*
При направлении времени в сторону сжатия траектории динамической системы
на Г3, как показано в п. IV § 6, приближаются к границе многообразия Г3
(состоящей из трех компонент, заданных условиями xji = 6г1, у* = бг-2; и)
- 0) и начинают двигаться вдоль сепаратрис особых точек. Сепаратрисная
диаграмма для модели VII0 типа (а также VI0 типа) показана в табл. 4
(обозначения те же, что и на сепаратрисной диаграмме табл. 3, столбец М3
относится к модели VI0 типа). Существенно, что любая последовательность
сепаратрис неустойчивых особых точек на Г3 после конечного числа
переходов заканчивается в притягивающих особых точках на дугах (|331, 1)
и (|332, 2) (см. табл. 4). Поэтому почти все решения в модели VI10 типа
при сжатии пространства имеют устойчивую казнеровскую асимптотику (7.8).
В качестве
Сепаратрисная диаграмма динамической системы (4.9) для однородных
м3 о со е Ф9° г со (Р". 0
о со е 2
