Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
о е 1 7 = i
Ni 2 / = 1,2
(РзсЭ' х) 3 * = 1, 2 2 а: - i
(Рзсу ' 3 х = 1,2 2 ж = i
(Pyx' х) 2 а: = i 3 ж = г 2Т a? -i У = 7
(Рззс' 4 а? = 1, 2 3 х = 1, 2 2 ж = i 3 а? = i 2Т о: = i
(РуЗ' *Т) 2 ж = г 3 а; = i 2Т х - i У = 7
(Рзу, х) 2 ж = i 3 ? = i 2Г ж = i
м 3 2
В5 2
Тз 1
Таблица 4
космологических моделей УН0 и VI0 типов (при сжатии пространства)
(Pii' 0 (hv 0 (P*r 0 (Рзя 0 ео Яз Гз СО о
2
1 / = 1,2
2 я? = /
2 х = / У = i
2 х = / 2 а? = 1,2 2 а? = 1, 2 3 а?= 1,2 4
а?=1,2
2 3
2
98
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
промежуточной асимптотики в решениях модели VII0 типа может реализоваться
любое конечное число колебаний на "длинной эре", где собственные числа
метрики qx и g2^> q3 колеблются точно так же, как и в моделях IX н VIII
типов.
Геометрическая модель колебательного режима (см. рис. 10) наглядно
показывает, что эти колебавия через конечное число шагов обрываются,
поскольку любая точка на окружности S1 при последовательном действии
отображения (проектирования) Г попадает на дуги р31 или р32.
Траектории динамической системы на инвариантном многообразии - s2, Уг =
Уъ - 1 /V2 описывают осесимметричные метрики в модели VII0 типа (см.
(6.19)). Среди них имеются точные решения: плоское решение Фридмана
qi = Q2- q3 = C3t*№+*\
входящее в особую точку на отрезке Ф3; казнеровское решение
Чг - Яг *= С^4/3. ?з = СГ'\
входящее в особую точку на отрезке А3\ таубовское решение,
соответствующее особым точкам Т3 (и изометричное решению Минковского):
?i = 9* = Ci, qs - С9&.
Во всех осесимметричных решениях модели VII0 типа трехмерные
пространственные сечения (t - const) согласно формулам для кривизны Риччи
(3.28) являются плоскими.
При направлении времени в сторону расширения все траектории динамической
системы на Г3 (кроме особых точек Т3) в силу существования монотонной
функции F3 (6.18) при t->- оо входят в (вырожденную) особую точку Г3 (см.
п. IV § 6). Однако при этом асимптотики метрики, как показывают
приведенные выше точные решения, могут быть различными.
VI0 тип. Динамическая система (4.9) для космологической модели VI0 типа
(пг - 1, п2 - -1, п3 = 0) эквивалентна динамической системе на компоненте
границы Г3 (или Г2) для модели VIII типа. Поэтому компактным
многообразием S для модели VI0 типа является четырехмерное многообразие
Г3 (Г3, как показано выше, есть произведение половины шара (угол Ух) на
отрезок /). Особые точки динамической системы на Г3 показаны на
соответствующей части рис. 12. Все эти особые точки вместе с их
собственными числами совпадают с аналогичными особыми точками для модели
VII0 типа, только вместо отрезка Т3 и Т\ здесь имеется отталкивающая
особая точка М3. В соответствии с этим в сепаратрисной диаграмме (табл.
4) нужно отбросить строки и столбцы Тъ и Tl
g В] ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ КЛАССА В 99
Поведение решений модели VI0 типа при сжатии пространства вполне
аналогично поведению решений VI10 типа - почти все решения после
конечного числа колебаний на "длинной эре" переходят на устойчивую
казнеровскую асимптотику (7.8).
При направлении времени в сторону расширения особая точка Мг является
притягивающей. Этой особой точке в модели VI0 типа соответствует
следующее точное решение:
qз = С4\ qi = q* = (7.9)
устойчивое в сторону расширения. Асимптотика (7.9) при t ->оо справедлива
для целой области в пространстве решений. Поэтому в модели VIо типа нет
изотропизации метрики при бесконечном расширении пространства.
Таблица 5
Степенные асимптотики метрики однородных космологических моделей класса А
при сжатии пространства
Тип модели Степенные асимптотики при t -" 0
II к* К" ФЛХ-
VIo *3, ^ЛХ' ^3' ^1' ^2
VIIo *з, Фдх' ^3'
VIII ^ЛХ' ^1" ^2> N3
IX ФдХ' ^2" Т& Ni, iV2, N$
В заключение перечислим степенные асимптотики в сторону сжатия, имеющиеся
в однородных космологических моделях класса А (см. табл. 5). В этой
таблице степенные асимптотики обозначены так же, как и соответствующие им
особые точки; Kt-казне-ровские асимптотики (7.8), в которых отрицательный
казнеров-ский показатель pt соответствует переменной qt (т. е. д*-> оо,
qi, q* -> 0 при t = 0).
§ 8. Преобразование динамической системы для однородных космологических
моделей класса В
I. Общие свойства динамической системы. Система уравнений Эйнштейна для
однородных космологических моделей класса В, как показано в § 3, сводится
к следующей динамической системе в фазовом пространстве рф, ср:
dPi _ дН , dPq) дН
100
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [М. It
Система (8.1) определена на уровне связи, заданной уравнением Эйнштейна
Д(r) == 0:
I
R = 2paq3 - p1ql - piqi - -^pff = 0, (8.2)
и рассматривается в области Н = е (ад2^з)(1+?с)/2 ^ 0- Время т связано с
синхронным временем t соотношением dx/dt = = (<М2"#з)~*/2> гамильтониан Н
и слагаемые ht, йф имеют вид
