Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
Н = (?192?з)(1"'° 2 + 7(3
Г = 2 ^ - ? pjgj - ,
г<; i = l
(^) =---1- (12а2адг + ('Mi - n2q2)2),
hl=a%2' hi =
(8'3>
K= ("lM,!<-">"
Константы a, w1? n2 определяют тип рассматриваемой модели согласно табл.
1 на стр. 45. Все метрики модели V типа (а = 1, п1 =
- п2 = 0), алгебра Ли которой имеет шестимерную группу внутренних
автоморфизмов, как показано в § 3, приводятся к диагональному виду.
Поэтому для модели V типа рф == 0 и условие (8.2) принимает вид 2p3q3 =
в результате чего система
(8.1) сильно упрощается - сводится к двумерной системе (см. ниже, § 10).
Проверим, что в силу системы (8.1) справедливы уравнения
dR __п _ ^a<2>QlQ2 z> /Q /\
-5Г-0- (8А)
в частности, сохраняется связь Д = 0 (8.2); на уровне этой связи
сохраняется гамильтониан Н 0. Найдем выражение dH/d%:
ан _ дн / дн х дн дн ^ дн ( дн h \ ,
"2Г_IpTV 'Ж 7 + mWiWi+^\'W~^) +
, дН дн , дн , dtf 2а2 Г .
+ ^ ^ --Ч " -Г(м*+"
-Pi9i) 'prfi + Рф.-Р-Jh) <h +<h<Mi+ Ptfh - РЯэ) (-^T") -
Pcp?i?2 ("i?i - "2ga)2
("1?! - /ада)2 "
(?i?2?s)
X-ft
§ 8j ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ КЛАССА JB Ш
Запишем систему (8.1) в явном виде:
1 Го / t \ \ Р%
Pl==~ (?i^s)(1-ft)/2 \- Pl {т* + тл ~ Рт) + 92 "
- 2аа<72-"1 ("1?! - тг2<72) - (-Цг^) -^] >
/-'2 = - (gigrfJd-"/2 [2^2 + Рз?з - РЯг) -
Рф N?i + пгд2) 1 i - к Н0
-----31 - 2" + -Г "¦ (">"¦ - """*)-----2-17
А " ~ [2pa (м'+- м,) -
- 2а2
?i?2 i - к Н,
Яз 2 уз
^ = 1----------vft-UrtTT l2^ (Piqj + ~*,/,& = 1, 2, 3 ,
(?1?2?з)а ;/
1 2р дхд2
ф=------------------------------------?----------
(8.5)
('7i?2?3)(1"A')/2 ("i?i -п2?г)2
Здесь //<,= Г + F(j. Система (8.5) в новых координатах Pt =
= и времени т0, определенном соотношением d%Jd% =
= (ад29з)~(1~'0/2 (или dujdt = (g1g2g3)"1/2), имеет вид
О Рф ("1?1 + W2?2) , " ,
1 _--------Ыг-'п^У ' + 2" +
1 1 ?
+ - mi (wtfi - я2д2) Н---------g- я<ь
" . Рф К?1 + п2д2)
Р* - + (nlQl~nmf + 2а qiq'2 -
1 1 ?
----2" ^ (Hiqi ~ "2^) ^-----2- Я°'
Р3 = 2а2ад2 ---------2- ^о" (8.6)
9i - (Рj -f- Pfc - -P*)>
Рф = - a (^i?i - n2g2)2,
. ____ ЯРуЯгЯь
^ Kgi - ^г)2
Здесь
з
# о = Т + VG = (Рг + Р2 + Рз)2 - 2 V Р)
Р%<1lft
Zj ; (*i?i - n2q2)*
; = 1
-----1- (12"2<7i<7a + ("1^1 - ИгЗг)2). (8.7)
102
косМоЛогиЧескйе Модели без движения вещества [ГЛ. II
Теперь нетрудно проверить, что функция R = 2Р3 - Рг - Р2 - ~~2аРц>
является первым интегралом системы (8.1)- (8.6): dR_ п- г- 1
*0
1 1 =--------------------------2" (rai9i- и2<7а)2 - 27 (- a) ("lffi -
Л292)2 = 0.
Из условия #0 > 0 (см. (8.7)) следует, что в физической области (qt ^>0)
Т (Pt) 0, поэтому все Pt имеют одинаковый знак и Р\Ф 0. Вследствие этого
в однородных космологических моделях класса В объем (<м2<7з)1/2
изменяется монотонно (поскольку (In (qxq2q3))* = Рг + Р2 + РъФ 0). При
направлении времени в сторону сжатия Рг + Р2 + Р3 < 0, следовательно, все
Pt < 0. Система (8.6) имеет две монотонно возрастающие функции Рг + Р2 <
0 и Р3<0, две монотонно убывающие функции qxq2 и р<р - 2ia (2Р3 - Рх -
Р2) и, также как и система (4.1) для однородных моделей класса А,
монотонно убывающую функцию
f = -зг (det =- 1 ,>- + ''- + р*
dt 3 (gi?2g3)'
Рф91?2 1 + ЗА u
ii I
.]•
(nigi _ n2q2)2 4
Вследствие наличия монотонных функций все особые точки динамической
системы (8.6) лежат на границе физической области.
И. Понижение порядка динамической системы. Отметим следующие важные для
дальнейшего свойства динамической системы
(8.6) : 1) координата ср является циклической координатой этой системы;
2) на уровне сохраняющейся в силу системы связи R - 0 импульс = 2а (2Р3 -
Рг - Р2) исключается из уравнений
(8.6); 3) после этих исключений система (8.6) инвариантна
относительно масштабных преобразований
Pi-*hPu t0-> -t0
и содержит замкнутую подсистему пяти уравнений на переменные jPi, Р2, Рз,
#1, #2' Вследствие этого порядок системы (8.6) понижается до четырех.
Введем масштабно-инвариантные координаты (аналогичные координатам,
использовавшимся в § 4)
(8.8)
§ 8] ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ КЛАССА В ЮЗ
Координаты yt и st удовлетворяют двум связям:
Ух + у\ = + st + s3 - 1* (8.9)
Динамическая система (8.6) в координатах (8.8) и времени xlt определенном
соотношением
dt, = (Pl + P\ + Ppl/'
dt 2 (^1<72^з),/2
имеет вид
0 Р% + п2у2)
Sl (rhVt- niV2f УгУ* (- 1 + (*1 - Ss)) +
+ w [Аа2у!у2 (1 - sx (Sj +s2 + S3)) + (Wii/1 - n2y2) X
X (Wll/l - Si (SiWil/i - S2n2l/2))] (1 - k) H%(i - Sj (Si S2 +
S3)),
" Pl (П1У1 + ПгУг) /,чч,
8г (ЩУ1-ПМ)" У1Уг (1 + Sa (Sl + Sa)) +
+ W [4a2i/it/2 (1 - S2 ("! + s2 + S3)) + ("1-2/1 - "2г/2) X
X (- w2i/2 - s2 (Sinii/i - s2n2t/2))) -f* (1 - к) (1 - s2 (Sj -j- s2
-f- Se)),
=2
" p; ("ivi + i4h) . . ...
53 (niyi - n2y2f y^ ^ (Sl-*2" +
-f w [4a2yi2/2 (1 -s3 ("1 + s2 + s3)) + {n1y1 - n2y2) X (8.10) X (- S3)
(s^ii/i - s2n2y2)] + (1 - к) tf2 (1 - s3 (si + s2 + s3)),
w = 2w |^4 (Si + s2 + s3 - 21/fsi) + 2 (si - s2) _ n2(/2)3- ^2 -
- w {4a2j/ij/2 (si + s2 + s3) + (Si/jji/i - s2n2i/2) ("хг/i - n2j/2)}
-
- (1 - к) (Si -|- s2 s3) j ,
