Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богоявленский О.И. -> "Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике" -> 41

Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.

Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике — М.: Наука, 1980. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikachestvennoyteoriidinamicheskihsistem1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 121 >> Следующая

Vi = (j&i + yls2 - s{), i = l,2,
Ф = (myf-nji/a)2 ' Рф = 2a (2s3 sx s2),
93 = 4g3(si + s2-s3).
Здесь функция
Я" о Г 2 pWj*
Si
Нг = . Я°---=2V?j-Voj
(р? + р* + р?) Zj ' Zj
(Р* + Р* + Pl) Zj 1 3 Z_l г (niyi - щугу
1 2 37 i <У г = 1
w
¦-----(12 а2уху2 + (nil/! - тг2г/2)2). (8.11)
Динамическая система (8.10) содержит замкнутую подсистему в координатах
sv s2, s3, w, г/х, i/2> удовлетворяющих двум связям
(8.9), и поэтому определенную на некотором четырехмерном мрд-
104
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
гообразии. Все особые точки системы (8.10) для моделей III и VI типов
(/гх = 1, п2 = -1, п3 = 0, а 0) оказываются невырожденными. Поэтому
динамику моделей III и VI типов удобно изучать на построенном
четырехмерном многообразии 5, которое в системе координат W1 (8.8)
выделяется естественными условиями:
Уг> 0, у2 > 0, Я2 > 0, w > 0, sx + s2 + s3 < 0,
(8.12)
у\ + yt = 1, si + 4 + si = 1.
При каждом значении ух, у2 условия Н2 0, w ^ 0 вырезают в координатах st,
w ограниченное трехмерное множество Р (диффео-морфное половине
трехмерного шара). Поэтому многообразие S диффеоморфно произведению Р X
/, где / - отрезок г/* ^ 0 на окружности у\ + у\ = 1.
III. Построение компактного четырехмерного многообразия для однородной
модели VII типа. В случае модели VII типа (пч = 1, /г2 = 1, /г3 = 0)
трехмерное множество Р при уг = г/2 сжимается в двумерный диск (рф = 0),
целиком состоящий из вырожденных особенностей системы (8.10). Для
разрешения этих особенностей введем систему координат W2:
ft" Уи У2, to, г= ^s -"i-"2 ^ (8.13)
i/1 - i/2
Компактное многообразие 5 для модели VII типа покрыто локальными картами!
Wx и W2 и выделяется в них условиями (8.12) (координаты z и w на
многообразии S ограничены в силу условия Н2 0). Система (8.10) в
координатах W2 и времени т3: dx^d%2 = = ~ Уъ) (полагаем уг у2) принимает
вид
"i = 8a2z2 (уi + у2) УхУ% (- 1 + sx (sx - s2)) +
+ w (yi - y2) [4a2y1i/2 (1 - stZ) +
+ (У1 - Уг) {Vi - Ф1У1 - s2y2))] + (1 - ft) (уг - y2) tf2X
X (1 - sj.Z),
s2 = 8a2z2 (г/х + г/3) i/^ (1 + s2 (sx - s2)) +
+ w(y1 - y2) [4а?уху2 (1 - s2Z) +
+ (У1 - Vt) (- У2 - s2 (%i/i - s2y2))] + (1 - ft) (г/х - i/2)tf2X
X (1 s2Z),
z = 8a2z3 (yx + y2) г/ij/a (sx - s2) + (8.14)
+ wz t- Аа2угу2 (уI - y2)Z - [уг - yt)* (siyi -
- НУг)] - С1 - *) H& (У1 - y2)Z - w (уг - y2)2 -
- 8z [(г/j - г/2) (i/jSi + y\s2) - (|yxsx - z/2s?)].
§ g) ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ КЛАССА В 105
it) = 2w (l/х - у2) [4(Z - 2ylsk) -
- w {4a*yiytZ + (siJ/i - s2J/2) (г/i - */2)} -
- (1 - k) H2Z) + 16wa2zz (yt + y2) yxy2 (sx - s2),
?i = 8 (j/i - y2) J/i (j/fo + y\s2 - Sl),
& = 8 (уг - y2) уг (y\Sl + y\s2 - s2),
Ф = - 8 azyty2,
4s = 2gs (j/i - J/a) ("I + s2 - z(y1 - y2)).
Здесь используются обозначения
^ = (si + s2 + ss) = -j- (3 (si + s2) -f- z (г/i - т/2))"
Я2 =----- ($1--S2)2 H------------------------4- (5l+^2+2 (l/l-г/2)) (3
($1 -f- s2) -Z (yi-I/2))-
- 4flazayij/2 - -f- (12a2^2 + (У1 - У2)2). (8.15)
Координаты W2 (8.13) на многообразии ? используются в окрестности точек
i/i = i/2 = 1/}/"2; при всех уг, у2 условие Н2 > 0 вырезает некоторое
компактное трехмерное множество Р в координатах su z, w (на уровне связи
5i + sl + sl = si + s\ + ~ (z [Уг - Уъ) + si + 52)2 = 1).
IV. Построение компактного многообразия S для однородной модели IV
типа. В случае модели IV типа (/zjl = 1, тг2 = = тг3=0, а]>0) трехмерное
множество Р, вырезанное в координатах si, w условием Я2> 0 (см. (8.11)),
при (уи г/2) -> (0, 1) растягивается в двумерную полосу 2s3 - - s2
= 0, s2 -f- s\ -f-
-|-$з=1, 0^м;<[оо, которая целиком состоит из вырожденных особенностей
системы (8.10). Для разрешения этих особых точек введем новые координаты
Ws:
SuSt,yi - y?\ Уг, Щ=Щи Ъ\ = . (8.16)
Ч
В координатах W3 функция Н2 (8.11) имеет вид
Н2 = - ($1 - S2)2 + - (Sl -f- S2 + ziyi) (3 ($1 + s2) - Zlijl)
- 4ahfa --f - (12a^2 + y*). (8.17)
Очевидно, что в окрестности точекуг = 0, у2 - 1 условие #2^ 0 вырезает в
координатах sx, s2, zu wx компактное трехмерное
106 КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
множество (на уровне связи
si "Ь s\ + s3 == 5i "f" s2 Н-(%iyi + si + s2)2 = 1)-
Компактное четырехмерное многообразие S для модели IV типа покрыто
локальными координатами и W3 и выделяется в них условиями (8.12).
Динамическая система (8.10) в координатах W3 имеет вид
"1 = 8аЧ\у2 (- 1 + (sj - *,)) +
+ Wt (1 - 81Z1) + (1 - Sl) y\] + (1 - ft) H2 (1 - S1Z1),
"2 = 8a2zjy2 (1 + s2 (s1 - s2)) + Wi [4a2y2 (1 - s2Zt)
- +
+ (1 - ft) #2 (1 - S2Z1),
Zi = Sahly2 (Sj - s2) +
~t" [4a2i/2 ( Zx) sii/il (1 ft) H2Zy7ii -
- wxyx - 4z1 (yfs! + y\s2 - st), (8.18)
ivx = 2w1 {4 (Zt - 2yfa - 2y$sz) + 8 (sx - s2) аЧ\у2 -
- u>! [4a2y2Zx + s{y\] - (1 - ft) H2ZX +
+ 4 Q/tsi + yls2 - sx)}, Si = 4yi (y}si + y%s2 - si), У2 = 8y2 (ylsx +
y\s2 - s2),
ф = - 8azi-j-, 93 = 2g3(si + s2 -Ziyi).
Здесь используется обозначение
1
Zi = (Si + S2 + S3) = -y- (3 (sx -f- S2) + Ziyi).
§ 9. Некоторые общие свойства динамики однородных космологических моделей
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed