Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
Осесимметричная (q2 = qs) космологическая модель IX типа (модель Тауба),
имеющая группу изометрий SO(2) X SO (3), была проинтегрирована Таубом в
случае пустого пространства (е = 0) [47]. Исследуем асимптотическое
поведение этой модели в общем случае г > 0.
Теорема. Метрика модели Тауба при 0 k < 1 вблизи особенности qxq\ = 0
имеет (при t 0) одну из следующих асимптотик:
qx"q2 ж C2t*M1+li\ (6.26)
qx " q2 х C2№+V№~*\ (6.27)
Qi ~ Cxt2, #2 ~ const (6.28)
(очевидно, асимптотики (6.26) - (6.28) являются частными случаями
асимптотик (6.9) - (6.11)).
Осесимметричная космологическая модель IX типа описывается системой (4.1)
на инвариантном многообразии V: q2 = q3, р2 = р3. Система (4.1) на
многообразии V в координатах
Pi9i ( Я2 W2
u - ^hl Wz=1 . V- - го, gi
2p2q2 4р2?2 V qx )
d%2 го
и времени т2: -jt =-----Г7- имеет вид
at q^2v2
U = - w2 2v2 - 2uv2 + (2й - 1) Н2,
w = w (й - 1 - 2v2 + 2Н2),
v = -L.v(-k - (1 - k) (й - I)2 - (1 - к) иР - 4/а;2), (6.29)
-1),
Я2= 1 ~ к- (1 - (й - I)2 - w2 + 4у2).
Первые три уравнения (6.29) образуют замкнутую систему, определенную в
однополостном гиперболоиде Н2 ^ 0. Траектории си-
КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ IX ТИПА
89
стемы (6.29) в области p2q2 > О (w > 0, v > 0) и времени т3 - = - т2
(dxo/dt 0) за конечное, время уходят на бесконечность по координатам w,
v; при этом величина р2д2 {w, v) меняет знак. Поэтому при направлении
времени в сторону сжатия достаточно рассмотреть систему (6.29) в
инвариантной области w < 0, v < 0.
В силу системы (6.29) v/v < 0, поэтому траектория движется внутри
гиперболоида Н2 > 0, приближаясь к многообразию v = 0; в частности, знак
v сохраняется. Асимптотическое поведение решений определяется, таким
образом, системой на многообразии
v - 0, (й - I)2 + w2 1, w 0. (6.30)
Выпишем особые точки системы (6.29) и их собственные числа (во всех
точках v = 0, = 0):
Т: й = 0, w = 0, =К =------------------------g-. К= - 1,
Ф:и=-1-, м> = 0, Я,- = -|-(1 - к),
, 1 + 3* , 1 + ЗА: * 1
-- g 9 --- g , ^ у
= w = - + 3&) (1 - At),
4 _ 1 + 3* , _ 1 - *
- 2 (5 -k) ' qi~ 5 - A '
1 - * + ? ]/" (3 + 16* - 3/c2)
w 5 - * '
С: й = 2, и> = 0, Я,- =-----------1-(1 - &),
T, ______1 ___ /I Т, ____ 1
- 2 ' w - 1 ' - ~~2~ •
Устойчивой является только особая точка Г, ей соответствует асимптотика
(6.28), справедливая, таким образом, для целой области в пространстве
решений. В особую точку Ф входит трехмерная сепаратриса,\ которой
соответствует асимптотика (6.26) Асимптотика (6.27' соответствует
двумерной сепаратрисе, входящей в! особую точку Nx. Сепаратрисы, входящие
в особую точку С, лежат на нефизической границе w = 0. Никаких физических
асимптотик точке С не соответствует.
Докажем, что все траектории системы (6.29), кроме сепаратрис особых точек
Ф, Nx, С, входят в особую точку Т. Поскольку каждая траектория'системы
(6.29) прижимается к многообразию (6.30), то это утверждение следует из
того, что все траектории на много-
90
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
образии (6.30), кроме сепаратрис этих особых точек, входят в
притягивающую особую точку Т. Для доказательства этого последнего
утверждения достаточно показать, что система (6.29) на многообразии
(6.30), совпадающая с двумерной системой (5.8), не имеет предельных
циклов, а это уже было доказано в § 5 (для системы (5.8)).
§ 7. Исследование космологических моделей VIII, VII0
и VI0 типов
VIII тип. Компактное пятимерное многообразие S с динамической системой
(4.9) на нем для модели VIII типа (ni=-1, щ = пг - 1) было построено в §
4. Компонента границы Гт(^1 + s2 + s3 = 0) многообразия S в силу условия
(см. (4.8),
Hi = ($i + s% + s3)2 - 2 (sj + $2 ¦+ ^з) +
+ (- 2j/i!/2 - 2yiy3 - yt - (1/2 - Уз)2) > o
вырождается в одну точку Т\: st = 0, уг = 0, уг = у3 = 1/|/*2) Точка Г?,
таким образом, является единственной точкой "максимального расширения" в
модели VIII типа. При направлении времени в сторону расширения каждая
траектория динамической системы (4.9) в силу монотонности функции F = (sx
+ s2 + s3)/ (У1У2У3У1* (см- § 4) покидает любую компактную область внутри
многообразия S (а также в окрестности границы Г0, лежащей в физической
области) и, следовательно, приближается к компонентам границы Гт, 1\, Г2,
Г3, Гш. При этом траектория может войти только в особую точку rj,
поскольку функция F монотонно возрастает (при расширении пространства) и
во всех точках границы 1\, Г., Г3, Гад, кроме Т\, функция F = - оо. Таким
образом, при бесконечном расширении пространства в модели VIII типа изо-
тропизации по компонентам метрики не происходит.
При направлении времени в сторону сжатия функция F монотонно убывает и
траектории динамической системы (4.9) приближаются к компонентам границы
Гь Г2, Г3, Г^. Динамическая система на компонентах границы Тг (уг= 0) и
Гw (w= 0) совпадает с динамической системой (6.1) на этих же компонентах
границы, которая подробно изучена в § 6. Динамические системы (4.9) на
углах границы Yt (ук = 8ik) для моделц IX и VIII типов также
