Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
4 V У ~r , (т2)2 \ aYУ )
Здесь
т1 = п\ + knxn2y + 3nly2, пг2 = пг - щу, пг3 = п1 + п2у-
Вычисление определителя этой матрицы удобно производить, упростив ее
сначала с помощью следующих элементарных операций (каждая последующая
операция применяется к результату предыдущей):
1) к 4-й строке прибавим 2-ю строку, умноженную на (-1/2);
2) ко 2-му столбцу прибавим 4-й столбец, умноженный на 1/2;
3) к 4-й строке прибавим 1-ю строку, умноженную на (-- а / YУ)\
4) к 1-му столбцу прибавим 4-й столбец, умноженный на (a/\fy).
В результате этих операций, не меняющих определителя, исходная матрица
преобразуется в матрицу, представленную на стр.
110. Характеристические корни Хк полученной матрицы (det (А\ (Хк)) = 0),
являющиеся собственными числами особых точек Ly, имеют вид
= 0, A,2i3 = 2аУу ± 2i + щу),
Ь=4.У7-(12"У7 + '"'.Ту-) • <9-8>
110 КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
1 V X и
У -к У 0 0
2 2 aVv-X Aanu, Vv 0
~ у mi m2
X (т2)2 ^ + 2а Vi ((tm)2)2 2а У у 2aVy~% (m2)2 *Уу
и 0 0 0 __ | У у - X - -4- X
Нулевое собственное число Х± = 0 отвечает одномерности множества особых
точек Ьу. Собственные числа X2f3 относятся к решениям в пустом
пространстве (Н3 = 0). Вследствие того, что вещественные части Х2>3
положительны, особые точки Ьу (9.6) и соответствующие им решения (9.7)
являются устойчивыми (при всех у^> 0) в пустом пространстве при
направлении времени в сторону расширения.
Характер устойчивости особых точек (9.6) и соответствующих им решений
(9.7) в заполненном пространстве определяется знаком Х^. При у достаточно
малом, очевидно, Х± < 0 для всех рассматриваемых моделей, т. е. особые
точки (9.6) и решения (9.7) неустойчивы. Граница области устойчивости
определяется равенством Х4 = 0, или
(9.9)
В случае модели VII типа (/гх = 1, п2 = 1) уравнение (9.9) при всех
значениях параметров а, к имеет два корня: у0 < 1 и 1/у0; в случае модели
IV типа {щ- 1, п2 = 0) это уравнение имеет один корень^! = (1 - &)/4а2 (1
+ ЗА); в случае моделей III и VI типов (ггх = 1, п2 - -1) уравнение (9.9)
не имеет вещественных корней, если
--1-гг <i; (9-W)
если же выполнено противоположное неравенство, то уравнение
(9.9) имеет два корня: у0 < 1;и i/y0;
Устойчивые при направлении времени в сторону расширения решения (9.7)
(особые точки Ly (9.6)) определяются условиями
§9]
ДИНАМИКА КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ КЛАССА В
111
(^4 > 0): для модели VII типа у0< у < 1 /уо] для модели IV типа ух < у;
для моделей III и VI типов у0 < у < 1/у0" если а2 (1 + 3&)/(1 - &) ]> 1,
в противоположном случае все решения
(9.7) неустойчивы.
Отметим, что точные решения (9.7) при к Ф 1, очевидно, анизотропны при t
оо. Поэтому наличие в однородных моделях класса В (кроме модели V типа)
устойчивых при расширении пространства асимптотик (9.7) означает, что в
этих моделях изо-тропизация метрики возможна только на промежуточной
стадии эволюции решения; при ? оо метрика согласно (9.7) становится
анизотропной.
Решения (9.7) дают также асимптотики при направлении времени в сторону
сжатия. Согласно формулам собственных чисел
(9.8), асимптотики (9.7), для которых у принадлежит области
неустойчивости Я4 < 0, имеют коразмерность два, а асимптотики, для
которых у принадлежит области устойчивости Х4 > 0, имеют в сторону сжатия
коразмерность три.
II. Колебательный режим на длинной эре в моделях класса В. Отметим
сначала некоторые свойства динамической системы (8.10), связанные с
недиагональностью метрики
моделей класса В. Покажем, что в случае модели VII типа почти все
траектории системы (8.10) никогда не пересекают поверхность Ух - У%- Для
этого запишем уравнения Эйнштейна как динамическую систему в восьмимерном
фазовом пространстве gti, gij. Траектория системы (8.10), пересекающая
поверхность ух = у2, перейдет в траекторию, пересекающую подмногообразие
W0 матриц с двумя равными собственными числами. (Координаты Яи #2" Яз в
случае модели VII типа являются собственными числами метрики gij,
поскольку метрика приводится к диагональному виду с помощью
ортогонального поворота на угол ср; см. § 3.) Многообразие W0 матриц с
равными собственными числами дг = = q2 имеет размерность два, поэтому в
пространстве gtj, gtj ему соответствует шестимерное многообразие Wx
(скорости gtj произвольны) и траектории динамической системы, проходящие
через многообразие Wx, заполняют некоторое подмногообразие размерности
семь в восьмимерном фазовом пространстве gtj, gtj. Поэтому почти все
траектории динамической системы не лежат на этом многообразии, т. е. не
пересекают поверхность ух = у2-Следовательно, для исследования общих
решений модели VII типа достаточно изучить систему (8.10) в области ух ^>
у2-
В случае однородных моделей III, IV и VI типов метрика gtj приводится к
диагональному виду с помощью преобразований
(9.11)
142
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. Я
(сохраняющих коммутаторы), которые не являются ортогональными
преобразованиями (например, для моделей III и VI тисов это
