Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
собственным вектором матрицы 4 (?х), поэтому конечная точка сепаратрисы
(4.4) Р1 = (j/fj-, s{ (?х)) принадлежит множеству К. В этой особой точке
собственное число Я2, отвечающее изменению координаты со (см. (4.1)),
отрицательно, поэтому точка Рх принадлежит или множеству К1У или
множеству Кг (см. (4.2)).
142
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С ДВИЖЕНИЕМ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. III
Результаты проведенного интегрирования сепаратрис отражены в
сепаратрисной диаграмме рис. 20, где стрелка и символ а{ означают переход
по сепаратрисе, идущей из множества Kt в
множество Kj. Отметим, что из каждой точки Кг возможны два перехода: а(r) и
однако, как нетрудно проверить, al о а* = ах, т. е. после этих двух
переходов получается одна и та же точка на множестве К3.
Как отмечалось ранее, общая
Рис. 20. Сепаратрисные пере- траектория системы (2.12) с неко-ходы между
особыми множе- торого момента времени начинает ствами Кц К2, Кз.
двигаться вдоль сепаратрис особых
точек Кг и поэтому аппроксимируется, согласно (4.4), бесконечной
последовательностью этих сепаратрис и особых точек. При нахождении
траектории в окрестности особых точек К[ одно из собственных чисел
метрики gtj (t) много больше двух других (поскольку матрица
I ( 3 \1/а
Уи = ёа /(aS=i (4.6)
на множестве К имеет ранг 1). Этому максимальному собственному числу
отвечает собственное направление матрицы gtj, асимптотически близкое к
общему собственному вектору матриц уи 4 *)• Таким образом, бесконечная
последовательность сепаратрис, определенная диаграммой рис. 20, является
аппроксимацией колебательного режима поведения метрики gtj (t). Такая
аппроксимация следующим образом отображается в найденную в работе [51]
кусочную аппроксимацию колебательного режима решениями Казнера.
Пусть ej, е\, е\ - собственные векторы матрицы (как отмечалось ранее, они
совпадают с собственными векторами матрицы хд, которые в работе [51]
названы "казнеровскими осями") и sx, s2, s3 - соответствующие им
собственные числа. При движении траектории вдоль сепаратрис a3, а\, al
метрика gtj (t) аппроксимируется следующим решением Казнера:
_____________gttW = С^е\е) + Сг^еЦ + Cst^e\e), (4.7)
г) Отметим, что для почти всех траекторий системы (2.12) соотношения
порядка собственных чисел q± > q2 > qz метрики g{j сохраняются при всех
значениях времени t. Это свойство имеет чисто геометрическую природу в
следует из того, что в шестимерном пространстве симметричных матриц gij
многообразие W матриц с двумя равными собственными числами имеет
размерность 4, поэтому почти все траектории системы (2.12) никогда не
пересекают многообразие W. Аналогичное свойство динамических систем в
про* ртрацстве двумерных матриц используется в § 3 гдавы VII.
КОМБИНАТОРНАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО РЕЖИМА
143
где казнеровские показатели pt определены формулами
Рг* *1 + "а + *з
_____ - и ____ 1 и _____ и -\- и2
Pl ~ 1 + и + М2 ' Р2 " 1 + Ч + U* " Р3 - "1' + U + U2
Движению траектории вдоль сепаратрис а\ и а2 в модели БЛХ [51]
соответствует "смена казнеровских показателей и поворот казнеровских
осей". Допустим, что матрица приведена к треугольному виду (3.4).
Согласно (4.5), собственные числа st = s\ матрицы^ (здесь sx < s2 < s3 <
0, поэтому в (4.5) нужно поменять местами sx и s3) преобразуются так же,
как и в диагональной модели IX типа. Следовательно (см. § 6 главы II),
преобразование (4.5) приводит к указанному в работе [51] закону смены
казнеровских показателей:
Pi = Р2 (и - 1), А = Pi (и - 1), рг = рг (и - 1).
Собственным числам st отвечают следующие собственные векторы матриц s{ и
sk (tx):
Si -> (1, о, 0), s2 -> (Si, SZ - slt 0), (4.9)
Sa -> ("М + (S3 - s,) 4, (s3 - sx) sl, (s3 - Sj) (s3 - s2)). Запишем
координаты этих векторов с помощью углов поворота: L (1, 0, 0), М (cos
0m, sin 0m, 0),
N (cos 0n, sin 0n cos фп, sin 0n sin фп). (4.10)
Из формул (4.5), (4.8) получаем связь углов поворота собственных векторов
матриц s{ и 4 (*i) после сепаратрисных переходов
1 2.
&з,
tge;_"_2 tg 9^ _ 2м - 1 - "
tg 0n и + 2 ' tg0m~ 2и +1 • <Р"'-Фп- (4-11)
Полученные формулы совпадают с выведенным в работе [51] "законом
поворотов казнеровских осей". Следовательно, сепарат-рисная аппроксимация
метрики (t), определенная диаграммой
рис. 20, изоморфна аппроксимации, указанной в работе [51], при условии,
что из двух возможных переходов а\ и а\ выбирается основной переход по
двумерной сепаратрисе а\.
Опишем кратко полученную здесь комбинаторную модель колебательного
режима, состоящую в том, что траектория системы
(2.12) периодически оказывается в окрестности особых точек К, которые
получаются одна из другой последовательным действием некоторого
отображения Т.
144
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С ДВИЖЕНИЕМ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. III
Точкой множества К является пара матриц (у^, 4), удовлетворяющая условиям
4 < О, Ях (s) = (Sp s)* - 2 Sp (s2) = О,
f yl= 1, is (4)2=1, (4.12)
i, j-1 k, j-1
причем матрица ytj имеет ранг 1 и является проектором на некоторое
(вещественное) собственное направление матрицы Пусть sy - соответствующее
