Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь тензор Риччи Р для метрики g, удовлетворяющей соотношениям (3.11),
выражен через тензор Риччи Р, вычисленный для диагональной метрики q и
имеющий компоненты (3.28). Используя стандартные свойства следа
произведения матриц, получаем
Sp (g-^P) = Sp (q'^P) + 2Sp (q^Pb (55'1) $>). (3.33)
Матрицы q~lP и b(3b~1)di на основании формул (3.28) и (3.10) имеют вид
9ilpn 0 \ /о - пг 0
q-ip= <?2lpi2 2 0 , U 0 0
\ n n "-I'd / \ 0 0 0
j. (3.34)
1
(1 -к)/г
§ 3] ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 53
Отсюда находим
2Sp (дЧРв (S5 ^S5) = 2Pl2 {n^ql1 - од^бср. (3.35)
Вычисление первого слагаемого в (3.33) по формулам (3.28) дает
Sp {q~xbP) = 4а2дэ2бд3 - 2a2qiiq^18q1 - la^q^q^ бg2. (3.36)
Коэффициенты hh йф входят в разложение величины "1/2(<?i5,2?3)(1+,f)/2^
поэтому в силу выражений (3.33), (3.35)
и (3.36) получаем окончательные формулы
К = aV<?, h = tfqJQ, h3 = -1а\хдг/qzQ,
(0*0 / )
hv = a (n1q1 - n2q2)VQ, Q = (ад2?з)(1'*)/2-
Таким образом, для всех однородных моделей класса А (а = 0) коэффициенты
ht = Аф = 0. Следовательно, уравнения Эйнштейна для моделей класса А
эквивалентны лагранжевой системе вида (3.23), и поэтому
соответствующая энергия Н = Т + Fg (см.
(3.25)) сохраняется: Н = const.
Для однородных моделей класса В имеет ht Ф 0, поэтому система уравнений
(3.23) не является лагранжевой. Эта система эквивалентна системе
уравнений Эйнштейна (при отсутствии движения вещества) при выполнении
дополнительного условия
i?3 - 0 (см. (3.9)). Эта условие после простого вычисления
при-
нимает следующий вид:
ll + jl_2A+ ф = 0. (3.38)
Ч\ Яг Я з аЯхЯъ т v 7
V. Для исследования поведения траекторий системы (3.23) преобразуем
эту систему в динамическую систему, определенную в фазовом пространстве с
координатами рь qt, рф, ср. Импульсы Pi, ру определяются преобразованием
Лежандра:
Pl = TTi= + ">¦ <./.*=*. 2,з,
л = Ж=- 2(м,,,,<¦+""¦"*<"'"¦ "
Обратное преобразование имеет вид
2
(3.39)
(f>j?j + PkQk - PiQ i). (3.40)
Лагранжева система (3.23) (Аг = Аф = 0), определяющая эволюцию метрики
однородных космологических моделей класса А (а = 0), после преобразования
Лежандра (3.39) переходит в гамильтонову систему
дН дН /,х
54 КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
Гамильтониан Н имеет вид H = qi^=T + VG =
3
1
3 3
+ х (2 Xj ~ S п*9*) ]' ^3'42^
В случае однородных космологических моделей класса В система уравнений
(3.23) после преобразования Лежандра (3.39) переходит в динамическую
систему (i - 1,2,3)
ЭН 7 дН
Pi ркп Qi
dq. г' Чъ др. '
(3.43)
эн 7 . эн }
Рч>~ Ч -
Здесь коэффициенты /гф определяются формулами (3.37), а гамильтониан Н
имеет вид
3 3
н = [2 Zг,рт> ~ % м ~
i<j г=1
- -Т (12а3^2 + (П1?1 - "2?2)2]. (3.44)
Динамическая система (3.43) рассматривается на уровне связи Bl = 0
(3.38), которая после подстановки выражений (3.40) принимает вид
2р3?з - pxq 1 - РгЪ - Ар/2а = 0. (3.45)
В случае однородной модели V типа (га* = 0, а - 1) без движения вещества
имеем ср = рф = 0, в результате чего система уравнений (3.43) - (3.45)
сильно упрощается.
Общим свойством динамических систем (3.41) и (3.43) - (3.45) является
сохранение гамильтониана Н и наличие монотонной функции
аИ*Г*. (3-46)
где | g | = det || gtj ||. Существование монотонной функции (3.46)
является общим свойством уравнений Эйнштейна в синхронной системе отсчета
(при отсутствии однородности всюду используются частные производные по
t). Приведем доказательство этого утверждения, которое фактически было
получено в [84]. Производ-
ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
55
ная; функции F по t имеет вид
dF _ rfg)g _ \gp> (f|g|-V , J_ Щт =
dt dta 6 \\ | g | ) "r 6 \ | g | / /
=+4- (x")a) < (t *"+T =
= i4^(-i?°o). (3.47)
Здесь использованы алгебраическое неравенство (и" )2 < Зирч? и явная
формула (3.5) для тензора Риччи в синхронной системе отсчета. В силу
уравнения Эйнштейна
До=п - 4г=т <s+3р> + (pi-У >0 <3-48)
(здесь v2 - квадрат трехмерной скорости вещества). Поэтому из (3.47) и
(3.48) получаем
(3.49)
что и означает монотонность изменения функции F в силу уравнений
Эйнштейна. Отметим, что неравенство (3.49) означает, что в синхронной
системе отсчета функция | g |*/" является выпуклой вверх функцией.
Вследствие этого | g | не имеет локальных минимумов по t, кроме | g | =
0, и за конечный отрезок времени t (при направлении времени в сторону
убывания | g |) детерминант
I S I обращается в нуль. Последнее утверждение означает неизбежность
возникновения сингулярности метрики в синхронной системе отсчета.
Общий способ построения синхронной системы отсчета состоит в следующем:
выбирается произвольная трехмерная пространственно-подобная
гиперповерхность; из точек этой гиперповерхности выпускается пучок
ортогональных к ней геодезических (времениподобных); семейство
пространственно-подобных сечений определяется условиями t = const, где
время t совпадает с длиной геодезической и t = 0 на исходной
гиперповерхности. При общем выборе начальной гиперповерхности (t = 0)
