Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
компонентам метрики.
Различные общие свойства решений уравнений Эйнштейна наглядно проявляются
в ряде специальных, обладающих большой симметрией точных решений.
§ 2. Классические решения уравнений
общей теории относительности
Один из основных методов получения точных решений уравнений общей теории
относительности состоит в исследовании решений, инвариантных относительно
некоторых групп преобразований координат. Такие решения обладают
глубокими симметриями и являются наиболее простыми и вместе с тем
естественными моделями многих астрофизических и космологических явлений.
Классификация различных типов инвариантных решений на основе теории групп
дана в книге [87].
Инвариантность решения относительно некоторой группы преобразований G
означает, в частности, что группа G является группой изометрий метрики
(1.1) на данном многообразии М*. Наибольшей инвариантностью обладает
плоское пространство Минков-ского, метрика которого (1.2) имеет
десятимерную группу изометрий - группу Пуанкаре. Эта группа порождается
шестимерной группой преобразований Лоренца О (1, 3) (группа линейных
преобразований, сохраняющих квадратичную форму (метрику)
(1.2)) и четырехмерной коммутативной группой i?4 произвольных сдвигов
плоского пространства-времени.
I. Решения Фридмана. Шестимерными группами изометрий обладают
замкнутое, открытое и плоское решения Фридмана. Эти решения были
предложены А. А. Фридманом в 1922 г. в качестве нестационарных моделей
однородной и изотропной Вселенной, метрика которой является метрикой
постоянной кривизны. Вещество в решениях Фридмана покоится, т. е. 4-
скорость вещества иг имеет компоненты (1, 0, 0, 0). Метрика замкнутой мо-
КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
39
дели Фридмана имеет вид
ds2 = dt2 - a2 (t)(d%2 + sin2 % (d02 + sin2 0 d<p2)). (2.1)
Пространственные сечения t = t0 этой модели являются трехмерными сферами
S'3, на которых ограничение метрики (2.1) имеет постоянную '
положительную кривизну X = а (?о)~2 (т. е. сфера имеет радиус a {U)).
Метрика (2.1) при любой зависимости а (?) инвариантна относительно
шестимерной группы О (4) вращений стандартной трехмерной сферы. В
случаеТуравнения состояния вещества р = кг, 0 к < 1, уравнения Эйнштейна
для метрик
(2.1) сводятся к двум уравнениям:
еа4 = 3(-^)2 + аа, ea3(1+ft>= const, (2.2)
где переменная т) определяется соотношением dt = a dr\.
Уравнения (2.2) в случае пылевидной материи (р = к = 0) решаются в
следующем виде:
а = а0 (1 - cos г)), t = а0 (т) - sin т)). (2.3)
Таким образом, радиус мира а (t) в замкнутой модели Фридмана при
изменении т) от 0 до я монотонно растет от а (0) = 0 (что означает
сингулярность решения,^ поскольку е =*СаГ3 оо) до состояния максимального
расширения а (яа0) = 2а0 и затем при изменении т) от я до 2я радиус мира
монотонно уменьшается до нуля: а (2яа0) = 0. Аналогичные свойства имеют
замкнутые решения Фридмана при любых к Ф 0.
Метрика открытой модели Фридмана имеет вид
ds2 = бй2 - a2 (t)(d%2 + sh2 % (dQ2 + sin2 0 dqp2)). (2.4)
Здесь пространственные сечения t - to являются многообразиями постоянной
отрицательной кривизны К = -а (?о)"2 (трехмерными пространствами
Лобачевского), которые имеют шестимерную группу изометрий, являющуюся
группой Лоренца О (1, 3). Уравнения Эйнштейна для метрик вида (2.4)
сводятся к двум уравнениям:
еа4 = 3 - я2" га3 Ь+Ъ = const, (2.5)
которые в случае пылевидной материи решаются в следующем виде:
а = do (ch т] - 1), t = а0 (sh т] - т]). (2.6)
Согласно (2.6) открытое решение Фридмана (2.4) имеет сингулярность при t
= 0, поскольку а (0) = 0; при возрастании t от 0 до
оо функция a (t) монотонно растет до бесконечности.
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
Метрика решений Фридмана с плоским трехмерным пространством имеет вид
ds2 = dt2 - а2 (t)(dxI + dxl + dxl). (2.7)
Решения (2.7), очевидно, инвариантны относительно шестимерной группы
изометрий плоского трехмерного пространства (сдвиги и ортогональные
вращения). Уравнения Эйнштейна для метрик
(2.7) сводятся к уравнениям
ea4 = 3^~j2, 8а3<1+А') = const, (2.8)
которые легко решаются при всех к:
а = а0*2/(3<1+Л:". (2.9)
Следовательно, в плоском решении Фридмана функция а (t) при возрастании t
от 0 до оо монотонно растет от сингулярности а (0) = = 0 до
бесконечности, как и в открытом решении Фридмана.
Общим свойством всех трех решений Фридмана является наличие физической
сингулярности а (0) = 0, где плотность энергии 8 оо (при этом | R | оо,
поскольку R = -Tijgv = (3к -
- 1)е). Наличие некоторой физической сингулярности в общем решении
уравнений Эйнштейна гарантируется рядом теорем, доказанных в работах [54-
57]. Конкретный характер сингулярности может быть существенно различным.
Например, уже простейшее обобщение плоского решения Фридмана имеет
совершенно другую - анизотропную сингулярность.
II. Решения Назнера. Обобщением плоского решения Фридмана являются
метрики следующего вида:
ds2 = dt2 - qx (t)dx\ - q2 (t)dxl - (t)dxl, (2.10)
