Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
световые линии за конечный отрезок собственного времени входят в
физическую особенность г = 0. Пространственно-подобные сечения т = т0, -
оо<?< + оо, при < <1 4г| являются произведением двумерной сферы S2 на
прямую R1, причем минимальный радиус сферы S2 определяется из (2.19)
ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
43
при ? = 0. В дальнейшем, в главе IV, будут построены автомодельные
решения уравнений Эйнштейна в заполненном пространстве с уравнением
состояния вещества р = кг, обладающие рядом аналогичных свойств.
§ 3. Общие свойства однородных космологических моделей
I. Однородными космологическими моделями называются пространственно-
временные многообразия ,//4, на которых задана метрика ds2,
удовлетворяющая уравнениям Эйнштейна и инвариантная относительно
некоторой трехмерной группы Ли G преобразований многообразия Л*,
действующей с трехмерными орбитами (орбитой называется множество точек,
получаемых из данной точки действием всех преобразований группы G).
Наибольшее значение для космологии имеют пространственно-однородные
космологические модели, для которых орбиты группы Ли G являются
пространственно-подобными (ограничение метрики ds2 на орбитах группы G
отрицательно определено). Только такие однородные модели и
рассматриваются в дальнейшем. Пусть Х0 - векторное поле, ортогональное к
орбитам группы G. В силу пространственной однородности метрики векторное
поле Х0 является времениподобным. Поэтому можно нормировать длину
векторного поля Х0 "Х0, Х0) = 1) и рассматривать интегральные кривые
^поля Х0 в качестве линий времени t, причем на каждой орбите группы G
имеем t = const. Можно показать, что если метрика ds2 удовлетворяет
уравнениям Эйнштейна, то каждая интегральная кривая поля Х0 пересекает
любую орбиту группы G только один раз (в силу существования монотонной
функции). Поэтому пространственно-временное многообразие JK4 можно
представить в виде произведения оси времени R1 на некоторую орбиту Gx: Ж4
= R1 X Gx (орбита Gx сама является трехмерной группой Ли, имеющей ту же
алгебру Ли, что и группа Ли G).
Пусть Хх, Х2, Х3 - векторные поля, являющиеся генераторами действия
группы Ли G. Векторные поля Хг, Х2, Х3 касаются орбит группы G и
удовлетворяют коммутационным соотношениям, определенным алгеброй Ли @
группы Ли G:
По построению векторные поля Х0 и Xt коммутируют ([Х0, Х\\ = = 0);
метрика ds% в базисе векторных полей Х0, Хъ Х2, Х3 имеет вид
[Хи Xj] = С'цХъ
(3.1)
о
I, /= 1, 2, 3,
(3.2)
где матрица gц (?) положительно определена. В однородных кос-
44
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
мологических моделях все параметры материи, заполняющей пространство,
должны быть инвариантны относительно преобразований из группы Ли G. В
случае вещества, имеющего гидродинамический тензор энергии-импульса
(1.3), компоненты скорости иг в базисе инвариантных векторных полей Х0,
Хх, Х2, Х3, а также плотность энергии 8 и давление р зависят только от
времени t. Таким образом, локальные свойства однородных космологических
моделей полностью определяются типом соответствующей трехмерной алгебры
Ли G.
Приведем простую классификацию трехмерных алгебр Ли, полученную впервые
Бьянки в 1897 г. [90]. Структурные константы Cij (3.1) в силу
антисимметричности по индексам г, / могут быть представлены в следующем
виде:
С% = е щпш + Sfcii - 8*0/, (3.3)
где &iji - полностью антисимметричный трехмерный тензор, nkl - трехмерный
симметричный тензор второго ранга, at - трехмерный вектор. Тождество
Якоби
[[Х" X,], Хк] + UXj, XJ, Xt] + [[Xk, XJ, Xj] = 0
приводит к условию nklai = 0, т. е. вектор ах (если ах Ф 0) является
собственным вектором матрицы nkl, отвечающим нулевому собственному числу.
Симметричная матрица пы в некотором новом базисе Х1т Х2, Х3 приводится к
диагональному виду; пусть ^1" /г2, п3 - собственные значения матрицы nkl.
В силу условия nklat = 0 можно считать, что вектор ах в новом базисе
имеет координаты (0, 0, а), причем либо п3 = 0, либо а = 0. В новом
базисе Х1? Х2, Х3 коммутационные соотношения (3.1) - (3.3) принимают вид
[Х1? Х2] = п3Х3, [Х2, Х3] = Ti\Xi #Х2,
[Х3, XJ = п2Х2 + аХх. { л)
С помощью линейных растяжений векторов Xt, Х2, Х3 коммутационные
соотношения (3.4) и соответствующие трехмерные алгебры Ли приводятся к
одному из девяти типов, указанных в табл. 1, где параметр а - любое
положительное число. Типы VI и
VII образуют однопараметрические семейства неизоморфных алгебр Ли.
В приведенной таблице содержатся следующие известные трехмерные алгебры
Ли: тип I - коммутативная алгебра Ли R3; тип VIII - алгебра Ли группы SO
(2, 1) или SL (2, В); тип IX - алгебра Ли группы SO (3). По стандартной
алгебраической классификации алгебр Ли (см. [91]) алгебра Ли типа II
является ниль-потентной, алгебры Ли типов III-VII являются разрешимыми,
алгебры Ли типов VIII и IX являются так называемыми простыми алгебрами
Лит
§ з] ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ lb
Таблица 1
Классификация Бьянки трехмерных алгебр Ли
