Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
точки, то для их исследования необходимо разрешить эти особенности с
помощью преобразований, указанных в § 2.
В тех случаях, когда система (2.1) обладает некоторой симметрией, для
пополнения фазового пространства на бесконечности удобно воспользоваться
(так же, как и в § 2) сферической системой координат:
и = *Г0, в = (xl + . . . + &)-*!'. (3.7)
Динамическая система (2.1) после преобразования в координаты
(3.7) рассматривается на уровне связи (2.16): у\ + • • • + Уп = 1. В
целом координаты (3.7) покрывают многообразие, являющееся произведением
(п - 1)-мерной единичной сферы SП~1 (2.16) на полупрямую @ ^ 0. Граничная
сфера, приклеенная к исходному фазовому пространству в области
бесконечных значений координат Хг, выделяется условиями (2.16) и @ = 0.
В некоторых динамических системах фазовые переменные естественным образом
разбиваются на несколько групп: например, в случае гамильтоновых систем
(2.4) - на л координат qi и п импульсов pi. В таких случаях бывает удобно
производить пополнение (компактификацию) фазового пространства на
бесконечности отдельно по каждой группе координат. Преобразование
координат в каждой группе можно по-прежнему взять в виде (3.3) или (3.7).
При этом полная граница, приклеенная к фазовому пространству на
бесконечности, состоит из нескольких компонент, каждая из которых
соответствует пополнению фазового пространства по некоторой одной группе
переменных. Компоненты границы пересекаются по углам границы, которые
также являются инвариантными многообразиями динамической системы на
пополненном фазовом пространстве.
Физическая область Si в результате указанных выше преобразований -
пополнения фазового пространства границей на бесконечности и разрешения
вырожденных особых точек динамической системы - преобразуется в замкнутое
(компактное) многообразие S с границей Г. Многообразие S является по
существу многогранником - полиэдром, граница которого состоит из
нескольких компонент Гз., . . ., Г*, пересекающихся попарно по различным
углам границы Г* П Многообразие S покрыто некоторой системой локальных
карт, в которых наряду с исходными координатами xi введены координаты
вида (2.11), (2.15), (3.3) и
(3.7). Динамическая система на многообразии S определена в результате
преобразований системы (2.6) во все эти локальные карты и надлежащих
(монотонных) замен времени типа (2.13) и (3.5).
МЕТОД СЕПАРАТРИСНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
31
Динамические системы, полученные таким образом в пересечении любых двух
локальных карт, полностью эквивалентны и отличаются друг от друга только
монотонной заменой времени.
Компоненты границы Г*, пополняющие фазовое пространство на бесконечности
и приклеенные к фазовому пространству в результате разрешения вырожденных
особых точек, являются инвариантными многообразиями динамической системы,
преобразованной на замкнутое (компактное) многообразие S. Компоненты
границы Tj типа (3.2), пополняющие физическую область Si при конечных
значениях координат х\, могут не быть инвариантными многообразиями - в
случае, если траектории динамической системы остаются в области Si только
при одном направлении времени. В этом случае траектории динамической
системы пересекают указанные компоненты границы только в одну Сторону -
внутрь многообразия S.
Преобразования, указанные в §§ 2, 3, составляют основное содержание
следующего общего метода исследования многомерных динамических систем.
Метод максимально невырожденной ком-пактификации динамической системы,
определенной в некоторой физической области Si, состоит в построении
такого компактного многообразия S с границей Г (состоящей из нескольких
компонент) и динамической системы на S, что построенная динамическая
система гладко продолжается на границу Г, имеет максимально невырожденные
особые точки и внутри многообразия S эквивалентна исходной динамической
системе в физической области Si. Построение компактного многообразия S
использует изложенные выше методы - пополнение фазового пространства
границей на бесконечности и разрешение вырожденных особых точек
динамической системы.
§ 4. Метод сепаратрисной аппроксимации
траекторий динамической системы
После построения компактного многообразия S с указанными в § 3 свойствами
следует перейти к изучению невырожденных особых точек и особых множеств
динамической системы, определенной на многообразии 5, и их сепаратрис.
Особым точкам динамической системы, лежащим внутри многообразия S,
соответствуют простейшие точные решения изучаемой задачи. Невырожденные
особые точки, лежащие внутри многообразия S и на различных компонентах
границы Г в стороне от углов границы, имеют сепаратрисы, входящие в них
из физической области. Этим сепаратрисам отвечают некоторые специальные
решения рассматриваемой задачи. t Асимптотики при х ^оо (или т - оо) и
устойчивость таких решений полностью определяются свойствами особых
точек.
32
МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. I
Неустойчивые особые точки динамической системы, лежащие в углах границы
