Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богоявленский О.И. -> "Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике" -> 13

Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.

Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике — М.: Наука, 1980. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikachestvennoyteoriidinamicheskihsistem1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 121 >> Следующая

Г* П Г^, имеют сепаратрисы, целиком лежащие на компонентах границы Г* и
Г) (являющихся инвариантными многообразиями динамической системы), и
могут вообще не иметь сепаратрис, входящих в них из физической области
Si. Каждая такая сепаратриса по отдельности не соответствует никакому
точному решению исходной динамической системы (поскольку она лежит на
приклеенной компоненте границы, которая отсутствовала в исходном фазовом
пространстве). Однако во многих случаях сепаратрисы, лежащие на различных
компонентах границы Г*, идут из одной неустойчивой особой точки в другую,
из второй неустойчивой особой точки в третью и т. д., образуя при этом
длинные последовательности сепаратрис, которые аппроксимируют сложные
режимы динамики истинных физических траекторий динамической системы.
Действительно, если все сепаратрисы, выходящие из одной неустойчивой
особой точки Xt, идут в некоторую другую неустойчивую особую точку Xj и
т. д., образуя последовательность переходов
..e~+Xi-+Xi~+Xi[~+Xl-+..., (4.1)
то траектории динамической системы, начавшиеся достаточно близко от одной
из этих сепаратрис или особых точек, будут, по теореме о непрерывной
зависимости решения от начальных данных, сколь угодно долго двигаться
вдоль некоторой последовательности сепаратрис (4.1).
Указанная ситуация реализуется, если для последовательности особых точек
(4.1) неустойчивое многообразие Wu (Xt) особой точки Xt (см. § 2) целиком
принадлежит устойчивому многообразию Ws (Xj) особой точки Xj и т. д. В
общем случае пересечение любых двух инвариантных многообразий Wu (Хк) и
W8 (X j) является некоторым новым инвариантным многообразием W, на
котором все траектории при t - оо выходят из особой точки Хп и при t + оо
входят в особую точку Хг. Траектории, лежащие в пересечении двух
инвариантных многообразий Wu (Хк) и W8 (X*), называются гетерок л
иническими. Траектории, лежащие в пересечении устойчивого и неустойчивого
многообразий одной и той же особой точки - Ws (Xt) и Wu (Xi) - называются
гомо-клиническими траекториями точки Х\. Устойчивые многообразия W8 (Хк)
и Wg (Xi) разных особых точек попарно не пересекаются (также не
пересекаются попарно и неустойчивые многообразия) - это следует из их
определения.
Устойчивые и неустойчивые инвариантные многообразия существуют не только
у особых точек динамической системы, но и у неособых замкнутых траекторий
- циклов Z*. Гомоклини-ческие и гетероклинические траектории, возникающие
в пересе-
МЕТОД СЕПАРАТРИСНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
33
чениях таких инвариантных многообразий Wv (Zt) и W8 (Zj), имеют очень
сложную динамику в фазовом пространстве: при t - оо и при t + оо эти
решения осциллируют в окрестности инвариантных многообразий W8 (Zt) и Wv
(Zj), никогда их не пересекая. Впервые гомоклинические решения были
найдены А. Пуанкаре в задаче трех тел [1]. Для изучения гомоклинических
решений рассматривают, следуя Пуанкаре, гиперповерхности X в фазовом
пространстве, трансверсально пересекающие траектории динамической
системы. В цкрестности цикла Zj, пересекающего гиперповерхность X в точке
У*, определено отображение / (диффеоморфизм) поверхности X в себя,
называемое функцией последования. Каждая точка х на поверхности X
является начальной точкой некоторой траектории I (х); отображение /
переводит точку х в следующую точку пересечения траектории I (х) с
гиперповерхностью X. Замкнутые траектории - циклы Zj - соответствуют
неподвижным точкам Yj отображения /, у которых также имеются устойливые и
неустойчивые инвариантные многообразия (пересечения инвариантных
многообразий Ws (Zj) и Wu (Zj) с гиперповерхностью X). Для диффеоморфизма
/ аналогично определяются гетероклинические и гомоклинические точки
неподвижных точек У j. Гомоклинические точки и связанные с ними свойства
траекторий подробно изучались в большом числе работ, начиная с [1, 8];
обзор последних результатов см. в [11].
Специфика рассматриваемых в данной книге динамических систем, возникающих
в задачах астрофизики и газовой динамики, заключается в том, что
большинство особых точек этих динамических систем лежат на различных
компонентах границы Г* соответствующих компактных многообразий S.
Динамические системы на компонентах границы Гг* сильно упрощаются,
вследствие чего сепаратрисы особых точек Xj во многих случаях удается
полностью исследовать (а иногда даже проинтегрировать в явном виде).
Доказательство того, что некоторая сепаратриса идет из одной особой точки
в другую, часто опирается на существование специальных монотонных функций
U (dU/di 0) динамической системы на данных компонентах границы. При
исследовании движения сепаратрис на двумерных компонентах границы часто
оказывается полезным критерий Дюлака - Бендиксона отсутствия замкнутых
траекторий (циклов); см. § 1, п. IV.
Все реализующиеся в рассматриваемой динамической системе сепаратрисные
переходы между особыми точками и особыми множествами удобно
систематизировать в сепаратрисной диаграмме, которую можно изобразить в
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed