Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богоявленский О.И. -> "Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике" -> 24

Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.

Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике — М.: Наука, 1980. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikachestvennoyteoriidinamicheskihsistem1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 121 >> Следующая

асимптотическое поведение решений] вблизи особенности определяется
движением траектории вдоль сепаратрис из окрестности одной неустойчивой
особой точки в окрестность другой и т. д., до попадания в окрестность
притягивающей особой точки, если для рассматриваемой космологической
модели такие особые точки существуют.
II. Перейдем к построению компактного многообразия S и динамической
системы на нем. В общем случае (все пь Ф 0) многообразие S имеет
размерность 5 и покрыто двумя локальными картами Wx и W2. В локальной
карте введены координаты $г, yt:
Si = PiQi/G, yt = qt/G, G = (ql + <& + q\)4*. (4.4)
Координаты Si пробегают евклидово пространство i?3, а координаты yt
пробегают двумерную единичную сферу S2: у\ + у\ + у\ = 1.
Для компактификации евклидова пространства R3 на бесконечности введем
локальную карту W2 с координатами yt, w:
st = st/(s\ + S3 + IS)*/* = Piqt/P, w = (s2 + sjj + e*)"1, (4.5)
P = (Plq\ + Phi + plqlYh-
Координаты st пробегают единичную сферу "S'2 : s? + s* + s3 = 1" а
координата w пробегает полуось 0 w оо. Двумерная сфера 5i + st + st - 1"
w=0 соответствует бесконечно удаленной сфере в координатах st. Две
системы координат s( и st, w вместе покрывают замкнутый
трехмерный шар D3. Компактное пятимерное
многообразие S является подмножеством произведения D3 X и выделяется
физическими условиями
yt > 0, w > 0, Н2> 0, sx + s2 + sB < 0, (4.6)
где функция
з
#2 = 4? П (<71<Мз)(1~*)/3 = 2 Yj ~1 +
i<j
3 3
+ ~w(2 S"^*) '
i<> i=l
§ 4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ 59
Граница Г многообразия S не является гладким многообразием: Г состоит из
шести четырехмерных компонент (граней), определенных условиями
Г0: Н% = О, Гt: iji - 0, i = 1, 2, 3,
Г^: w = О, Гт: Si + s2 + s3 - 0.
Компоненты границы Г0, Гт лежат в "физической" области многообразия S, т.
е. этим компонентам отвечают неособые состояния метрики, в то время как
компоненты границы Гь Г2, Г3, Г^ являются компактификацией физической
области S по вырожденным состояниям метрики и соответствуют
космологической сингулярности = 0. Компонента границы Г.ш
в силу условий
(4.6) является произведением Tw= Д X D2, где координаты yt пробегают
треугольник Д (yt > 0), а координаты st пробегают круг D2:
2Sv,-l>0, (4.7)
i<j
выделенный на сфере sj + si + si = 1, w = 0, условием H2 ^ 0.
Гамильтонова система (4.1) после преобразования в локальные
dx G
координаты Wi и замены времени -;Т/-- имеет вид
dr
Si = -nfli (ntfj + щук - ЩУ() + (1 - k)Hi - 4s*(sa - 2spyl),
УI = %г (3/tfia - Si), (4.8)
G = AG (sa - Щ,у1), где
Hi = (q^qsY1-^ H/G2 = T (s,) + V4FG (y,)
(в (4.8) и (4.9) по индексам a, (3, 7 = 1, 2, 3 производится
суммирование).
В локальных координатах W2 гамильтонова система (4.1) пос-
dxo Р
ле замены времени = ----------------- ц-д-)/2 пРпнимает вид
Si = W [- nfli (n}yj + пкук - nfli) +
+ Si {nay^Sa (/грг/р + и7г/7 - пауа))\ +
+ (1 - &)(1 - st (г?! + S2 +s3)) Я2,
& = 2w [w (nayaSa {щу$ + ПуУу - пауа)) -
-(1 - k)(sa)H2 + 4 (sa- 2spj/p)], (4.9)
г/г = 8г/г (sai/? - s,),
G = 4G (sa - 2spi/p).
60 КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БВЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
Локальные координаты W\ удобно использовать для изучения поведения
однородных космологических моделей в окрестности состояния максимального
расширения Si + s2 + s3 = 0, а локальные координаты W2 - в окрестности
космологической сингулярности = 0.
Отметим, что в системах (4.8) и (4.9) переменная G отделяется- это
следствие инвариантности гамильтоновой системы (4.1) относительно группы
масштабных преобразований
Вследствие такого понижения порядка динамическая система
(4.1) эквивалентна динамической системе (4.8) - (4.9), определенной на
компактном пятимерном многообразии S. Очевидно, что полученная
динамическая система гладко продолжается на компоненты границы Г. При
этом компоненты границы Г0, Г1? Г2, Г3, являются инвариатными
подмногообразиями динамической системы.
Различные компоненты границы Г пересекаются попарно и определяют
трехмерные углы границы У0, Y±, У2, У3, У4, У ь> также являющиеся (кроме
Ув) инвариантными подмногообразиями динамической системы. Угол границы У0
= Г0 f] (Гг (J U U Г3), здесь Н2 = 0, а координаты уг, у2, у3 пробегают
стороны сферического треугольника Д. Углы границы Y У2, У3 проектируются
в вершины треугольника Д, на имеем yt = 1, у$ -
- Ук - 0, т. е. Yt = Г, П 1\ (i, /, к = 1,2, 3). Угол границы Yt при
пь - 0 является заполненным конусом
пополненным кругом D2 (4.7); при nt - ±1 угол У t является усеченным
параболоидом з
Угол границы У4 = (Гх [J Г2 (J Г3) П = дА X D2, здесь
координаты уъ у2, у3 пробегают стороны сферического треугольника Д, w =
0, координаты st пробегают круг D2 (4.7). Угол Y4 является заполненным
трехмерным тором и состоит из трех цилиндров Гг* р) Г^, склеенных попарно
по их основаниям. Угол границы У5 = Г0 П Гц; = А X S\ здесь координаты
ух, у2, у3 пробегают сферический треугольник Д, а координаты st пробегают
окружность S1 = dD2, w = 0. Угол границы У6 = Г0 р| П Гт целиком лежит в
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed