Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
где u?° = -1/2 (glk 6gik + 6 (In | g |)'). Запишем первое слагаемое в
(3.14) в виде
- V\gW\gik (t) б Ра = hl8qi + К V (3-15)
Здесь и далее используется представление метрики gtj (t) в
виде
(3.11): g - (З5*)"1#^"1; координата ф для моделей класса
В оп-
ределена формулами (3.10); для моделей класса А (и модели V типа)
координата ср = 0, З5 (ср) = 1. Коэффициенты hi и будут вычислены в
дальнейшем.
Проведем необходимые преобразования оставшихся слагаемых в тождестве
(3.12). В силу уравнений Эйнштейна при отсутствии движения вещества
(уравнение состояния вещества р = ке; см.
(1.3)) получаем
(i?"m - i gnmR) V\g] bgnm = Tnm V\T\'bgnm =
= - Tlngnm /ПГГ 6gmi = - 8 УЩ (goo1 00 - kg4bg}i) =
- - 6 V\ g I (goodgoo - kq~Lbqi). (3.16)
50
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
Здесь, использовано тождество gxl 6gn = | g | ^б! g | =
В синхронной системе отсчета (3.2) на основании формул (3.5) получаем
R УI g I = (Д°о+ Rb VI g I = т /I g I (xS4 - xSx?) -
- Pa / иг -4 " vm=-4 и, (3.i7)
где введены обозначения L% = и(r) У | g |, Lx= Т' - V'G и
Функция Ьх содержит только первые производные по времени от метрики gu
(t) и в дальнейшем играет роль лагранжиана.
Рассмотрим систему отсчета, отличающуюся от синхронной системы (см.
(3.2)) заменой времени
В этой системе отсчета имеем g0o= поэтому выражение
(3.16) тождественно обращается в нуль. Выражение (3.14) в новой
системе отсчета имеет вид
V\g\ gnmbR"m = -(<?1<Мз)(1+*>''2gik(t)bPik +
+ TR (w°. (?iM3)(1+fc)/2)- (3.20)
Вследствие инвариантности скалярной кривизны R в новой системе отсчета
имеем
Для дальнейшего оказывается удобным использовать лагранжиан L = V2 L0. В
новой системе отсчета подставим в тождество (3.12) найденные выражения
(3.16), (3.20) й (3.21) и проинтегрируем по ^времени т от тх до т2 (при
этом предполагается, что на концах отрезка интегрирования бgtj (хк) =0);
в результате получим следующее уравнение:
где ht = 1i2hi {я&ЯзУ12- Отсюда ввиду произвольности вариаций бqit бф
получаем, что уравнения Эйнштейна для однородных космологических моделей
без движения вещества эквивалентны
= \g (*) \~m = (?iff*?s)~k/*-
(3.19)
RV\g\ =L0-±L2, (3.21)
ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
51
системе уравнений
dL d dL
dq. dx dq. -
Отметим, что проведенный вывод позволил исключить из уравнений Эйнштейна
плотность энергии 8 и получить замкнутую систему дифференциальных
уравнений (3.23), определяющую изменение метрики gfj (t). Плотность
энергии 8 выражается через~мет-рику gtj и первые производные gtj в силу
уравнения Эйнштейна Rl - V2 R = Тq. Действительно, из формул (3.5)
получаем
28/1*1 =2(д2-4-я)/и =(Rl-R%) V\g\ =
' = х №8 - /FiT + К /й=г + v'G. (3.24)
Функция Н' = Т' + V'g (см. (3.18)) является энергией для лагранжиана Ьг
(3.17). Энергия, соответствующая лагранжиану L = г/2 в силу (3.21) имеет
вид
я = Т + VG = 4*(ММГЧТ' + ?о) = В(gi?Jg,)<l+*)/e- (3.25)
В дальнейшем будет показано, что эта функция является первым интегралом
системы (3.23).
IV. Перейдем к нахождению явного вида функции L и коэффициентов" hu
/гф. Кинетическая энергия Т согласно (3.25) и (3.18) имеет вид
Это выражение после подстановки матрицы g в виде (3.11) и проведения
простых преобразований, использующих стандартные свойства следа матрицы и
явный вид матриц З5 (t) (для однородных моделей класса А имеем З5 00 = 1,
Ф = 0), переходит в окончательную формулу
Здесь точка означает дифференцирование по времени т, определенному
согласно замене (3.19). Отметим, что кинетическая энергия Т,
рассматриваемая как квадратичная форма от скоростей qu является
индефинитной. Это обстоятельство существенно отличает динамические
системы, описывающие однородные космологические модели в общей теории
относительности, от гамильтоновых систем, изучаемых в классической
механике.
г =4"!."?,)<•+*>'¦ [fsp(* .H)*-Sp(# °г1)].
(3.26)
(3.27)
52 КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. Ii
Потенциальная энергия Vq - (?1Мз)(1+к)/2^а является скаляром, и поэтому
достаточно вычислить значение Vq для диагональной метрики q. Тензор Риччи
Р^ для диагональной метрики в силу формул (3.6) и (3.4) имеет следующие
компоненты:
Ри = - 2aiq1q~i1 + {n\q\ - (n2g2 - re3g3)2) q^ql1,
_ |
Pn = - ZcPqiql1 + -7- in\q\ - (w3g8 - n^f) q^qi1,
г (3.28)
Рзз = - 2a2 -1-jj" (пзЯз - (Ri?i - Qi1^1"
P is = Ргх = a (ratfi - n2g2) 9з\ ^is = Ры = Рг 3 = ^зг = 0.
Отсюда для однородных моделей класса Л (а = 0) получаем
з з
2 ^ j - ^ n?g?) . (3.29)
i<j г=1
Для однородных моделей класса В (а Ф 0, пг = 0) из (3.28) находим
V° =~Г,------2 12a^i?2 - (ni?i - n%<h?)- (3.30)
4 (?1?2?зГ ^
Полученные формулы (3.27) (3.29), (3.30) и определяют явный зид функции L
= Т - Vq для всех однородных космологических моделей без движения
вещества.
Для вычисления коэффициентов ht = 1/Jbi (?1<Мз)*/2" заданных соотношением
(3.15), воспользуемся матричной записью свертки:
g4Pik = Sp (g-K 6P) (3.31)
и следующими выражениями:
g-1 = р =
8Р = б ((.f>,)-1)P5a~1 + i&Y'bpg*-' + (^'г^б^-1). ( '
