Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
среди которых решение Фридмана выделяется условиями qx (t) = = q2 (t) =
q3 (t). Группа изометрий ббщей метрики (2.10) состоит из произвольных
сдвигов по трехмерному пространству хх, х2, х3, т. е. является трехмерной
коммутативной группой i?3. Уравнения Эйнштейна для метрик (2.10) сводятся
к следующей системе уравнений:
(ктгЧз)'1г (In 9г)У = (" - p)(QiMs)Vl,
3 (2.11)
2 (In (9ig2g8))'* + 2 ((hl Яг)У = - 2 (e + 3p),
г-1
где точка означает дифференцирование по времени.
В случае пылевидной материи (р = 0) уравнения (2.11) легко решаются [88,
59] и имеют следующие два типа решений:
6 = 0: qt (t) = (2.12)
е ф 0: qt (t) = (t + *o)'/3'2Pi, e = 4/3* (t + to). (2.13)
КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
41
Постоянные р±, р2, ръ удовлетворяют двум условиям:
Pi + Рч + Рз - 1" Pi + pt + pl = 1 (2-14)
и называются казнеровскими показателями.
Решения Казнера [88] (2.12) определяют метрики вида (2.10) в пустом
пространстве. При t - 0 эти решения при всех наборах казнеровских
показателей pi, Р21 Рз> кроме набора (1, 0, 0), имеют физическую
особенность, не устранимую никаким преобразованием координат.
Исключительное решение
ds2 = dt2 - Cit2 dx\- C2 dx\- Съ dxt (2.15)
после преобразования в координаты т = t ch хг, ? = t sh х\ переходит в
решение Минковского (1.2). Решение (2.15) является простейшим примером,
показывающим, что наличие особенности в данном конкретном виде метрики
еще не означает наличие физической особенности решения, поскольку
особенность метрики в отдельных случаях может быть устранена с помощью
некоторого преобразования координат.
Решения (2.13) в заполненном пространстве, полученные впервые в работе
[59], содержат как частный случай при Ci - С2 = С3, ?о = 0 плоское
решение Фридмана (2.7) - (2.9). В общем случае *о > 0 решения (2.13) при
0 имеют анизотропную сингулярность того же вида, что и решения Казнера
(2.12) в пустоте. Таким образом, плоское решение Фридмана (2.7) - (2.9)
при сжатии пространства (det (,gtj) -0, t -0) является неустойчивым в
классе возмущений вида (2.10). При расширении пространства (?->- оо) все
решения (2.13) имеют ту же асимптотику, что и решение Фридмана.
Следовательно, при расширении пространства происходит изотропизация
первоначально анизотропных решений (2.13).
Метрики вида (2.10) определяют простейшую однородную космологическую
модель - модель I типа. В рассмотренном случае два важных физических
вопроса - исследование характера поведения метрики в окрестности
космологической сингулярности (det [) gij || = 0) и исследование
характера изотропизации метрики при расширении пространства -¦ имеют
весьма простое решение. Для более сложных однородных космологических
моделей уравнения Эйнштейна уже не удается проинтегрировать в явном виде.
Полное исследование всех режимов поведения метрики однородных
космологических моделей проводится в дальнейщих параграфах с помощью
методов качественной теории динамических систем.
III. Решение Шварцшильда. Это классическое решение описывает
гравитационное поле, создаваемое в пустом пространстве сферически-
симметричным телом массы т = rgt2. Метрика пространства-времени в этом
случае необходимо является статической
42
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ, II
и имеет следующий вид:
(т л \ dr2
1 - -f\ dt2 - -7-2 (d02 + sin2 0 d(P2)- (2-16)
Решение Шварцшильда при г ->оо стремится к плоскому решению Минковского,
имеет физическую сингулярность при г = О и нефизическую, устранимую
сингулярность на гравитационном радиусе г = rg.
Полное сферически-симметричное решение в пустом пространстве, не имеющее
нефизических сингулярностей, было построено Крускалом [89] с помощью
следующего преобразования решения (2.16) в координаты т, ?:
г ]> rg: х = 2rgerl2rs (г - rg)^2 sh. (t/2rg),
С = 2rger/2r* (г - г,)'/. ch (t/2rg); (2.17)
r <C.rg: т = 2 rger^rg (rg - r)1^ ch (t/2rg),
Z = 2r*er/2r" (r* - r)*/. sh (i/2rg).
Метрика (2.16) в новых координатах т, ? принимает вид
ds2 = -i- e~r/rg (dx2 - d?2) - r2 (d02 + sin2 0 d<p2), (2.18)
причем функция г (т, ?) в силу формул (2.17) определяется из соотношения
Т2 _ ? = 4rger'rg (гg - г). (2.19)
Линии г = const на плоскости т, ? в силу (2.19) являются гиперболами.
Решение (2.18) определено в области плоскости т, ?, заключенной между
двумя ветвями гиперболы г (т, ?) = 0, на которой решение (2.18) имеет
неустранимую физическую особенность. Линия г = rg состоит из двух прямых
т = + ?, на которых метрика (2.18) совершенно регулярна. Прямые т = + ?
делят плоскость на четыре области: две области Т+ (т ]> 0) и Т_ (т < 0),
находящиеся под гравитационным радиусом (г < rg, | т |
| ? |), и две области Rx и R2, находящиеся вне гравитационного радиуса (г
> г*, | т | < | ? |). Области Г+ и Rx в силу преобразования (2.17)
соответствуют двум областям г <С. гg и г гg решения Шварцшильда (2.16).
В полном решении Крускала (2.18) две области i?x и R2 не сообщаются
никакими физическими сигналами. В области Т+ все времениподобные и
