Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богоявленский О.И. -> "Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике" -> 19

Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.

Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике — М.: Наука, 1980. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikachestvennoyteoriidinamicheskihsistem1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 121 >> Следующая

Тип по Бьянки а П\ П2 П8 Тип по Бьянки а П1 Пг
т
I 0 0 0 0 III 1 1 -1 0
II 0 1 0 0 IV 1 1 0 0
VIo 0 1 -1 0 V 1 0 0 0
VIIe 0 1 1 0 VI (а ф 1) а 1 -1 0
VIII 0 1 1 -1 VII а 1 1 0
IX 0 1 1 1
С алгеброй Ли & группы Ли G естественно связана еще одна группа Ли G2 -
группа внутренних автоморфизмов алгебры Ли @, или группа всех линейных
преобразований алгебры Ли, не меняющих коммутационных соотношений между
векторами Xt. Для коммутативной алгебры Ли (тип I) группой внутренних
автоморфизмов G2 является полная девятимерная группа всех линейных
преобразований пространства R3; для простых алгебр Ли
VIII и IX типов группы внутренних автоморфизмов G2 совпадают с
соответствующими этим алгебрам трехмерными группами Ли - SO (2, 1) й SO
(3) соответственно; для остальных трехмерных алгебр Ли группа внутренних
автоморфизмов G2 имеет размерность четыре и выше.
Трехмерные алгебры Ли и связанные с ними однородные космологические
модели естественно разбиваются на два класса [62], соответствующие двум
частям табл. 1: класс А (а = 0) и класс В (аф 0, тг3 = 0). Однородные
космологические модели в каждом из этих двух классов имеют целый ряд
важных общих свойств.
И. Для однородных космологических моделей все компоненты тензора кривизны
Римана В)ы метрики (3.2) в базисе векторных полей Х0, Х2, Х3 выражаются
через компоненты метрики
gij(t), ее производные (первого и второго порядка) по времени t и
структурные константы С?у соответствующей алгебры Ли. Все необходимые
вычисления проводятся по стандартным формулам, определяющим кривизну
метрики в неголономном репере (см. [84, 85]). Компоненты тензора кривизны
Риччи имеют следующий вид:
^о = -4-^-Хх"хР' Р* *• М = 1, 2, 3,
Я? = -4-4 (4-6? 4), (3.5)
46
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
Здесь = g]agv, \ g \ = \ det (gu) |; компоненты трехмерного тензора Риччи
Ptj вычисляются по формулам
р" = -г?г}*-с{*г&, (36)
4 (<% + + Cfom**')-
Система уравнений Эйнштейна R\- V2 fi* R = Tl для однородных
космологических моделей с гидродинамическим тензором энергии-импульса
материи (1.3) является, в силу приведенных формул (3.5), (3.6), системой
шести "тензорных" уравнений (г, /) ф 0, содержащих вторые производные по
времени от метрики gij (t), и четырех уравнений - 1/2R = Т$ и Ri = Т\,
содержащих только первые производные от компонент метрики gtj (?). Эти
четыре уравнения позволяют выразить плотность энергии 8 и три независимые
компоненты скорости иг через компоненты метрики gu (t) и их первые
производные по времени. После подстановки полученных выражений в шесть
тензорных уравнений Эйнштейна получается замкнутая система
дифференциальных уравнений второго порядка на компоненты метрики gtj (t).
Для однородных космологических моделей без движения вещества,
рассматривающихся в данной главе, вектор 4-скорости материи в базисе
инвариантных векторных полей Х01 Хг, Х2, Х3 имеет следующие компоненты:
u° = 1, иг = 0 (это означает, что система отсчета, в которой
рассматривается метрика (3.2), является синхронной (?00 = 1, gQi = 0) и
сопутствующей (иъ = 0, 1Ф 0)). В этом случае уравнения Эйнштейна Л? = Т\
= 0 являются тремя связями для системы шести тензорных уравнений
Эйнштейна.
Покажем, что на уровне связей R\ = 0 метрика однородных космологических
моделей класса А одновременно во все моменты времени t приводится к
диагональному виду, а в случае однородных космологических моделей класса
В - к виду с одним недиагональным коэффициентом. Такое приведение
основано на важном свойстве системы уравнений Эйнштейна для однородных
космологических моделей - инвариантность относительно группы G2
внутренних автоморфизмов соответствующей алгебры Ли. Действительно, если
преобразование Xt -:> Х\- А\Х$ не меняет коммутационных соотношений между
векторами Xt (не меняет коэффициенты С)*:), то система уравнений
Эйнштейна в базисе векторных полей Х0, Xi имеет тот же вид, что и в
базисе Х0, Xt. Поэтому соответствующее преобразование метрики
gtj ~*glj = AigtiA) (3.7)
дереводит решения этой системы снова в решения.
ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
41
В случае однородной космологической модели I типа групш 6?2 внутренних
автоморфизмов коммутативной алгебры Ли К' является группой всех линейных
преобразований R3. Поэтому с помощью некоторого внутреннего автоморфизма
можно одновременно привести к диагональному виду метрику gtj (t) модели I
типа и матрицу ее первых производных по времени (t). Решение с
диагональными начальными данными в однородной модели I типа остается
диагональным во все моменты времени, что и означает возможность
приведения произвольного решения в модели
I типа к диагональному виду.
Метрику любой однородной космологической модели gtj (t) с помощью
внутреннего автоморфизма соответствующей алгебры Ли можно привести в
данный момент времени t = t0 к диагональному виду. При этом уравнения
Эйнштейна i?? = 0 для однородных космологических моделей класса А в силу
(3.5) имеют вид (в момент времени t = t0)
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed