Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
пучок ортогональных к ней геодезических фокусируется в фокальных точках,
при этом сингулярность метрики в построенной синхронной системе отсчета
может оказаться фиктивной, т. е. исчезающей при другом выборе системы
отсчета.
В случае однородных космологических моделей имеется выделенное семейство
пространственно-подобных сечений - орбиты действия трехмерной группы
изометрий G. В соответствующей синхронной системе отсчета (которая и
используется в дальнейшем) сингулярность метрики однородных
космологических моде-
56
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
лей в общем случае является истинной. Докажем этот факт для однородных
моделей в заполненном пространстве (и при отсутствии движения вещества).
Из существования первого интеграла Я = е (д^ЯзУ1^12 (см- (3-25)) получаем
е -> оо при| g\ =
->0. В силу уравнений Эйнштейна скалярная кривизна R = -Tijgij = ,(3к -
1)е, поэтому | R | оо при е оо, что и означает неустранимость
сингулярности решения.
Монотонная функция F (3.46) в фазовом пространстве динамических систем
(3.41) и (3.43) имеет вид
р_ ^(я&дз)4* _ Р191 + Р2Ч2 + М3 - <г 0 (3 50)
dt dx ^
и существенно используется в следующих параграфах. Дальнейшее
исследование однородных космологических моделей проводится уже отдельно в
классе А ив классе В.
§ 4. Преобразование гамильтоновой системы
I. Уравнения Эйнштейна для однородных космологических моделей класса
А, как показано в § 3, эквивалентны гамильтоновой системе в фазовом
пространстве Pt,qt (i = 1,2,3) с гамильтонианом
Н = (?l?2?8)(1_>i/* ^ ^ Т V° ^ '
где
3 3
Т (Pi9i) = 2 2J РгРЙгЧ) - S рЫ
г <j г-1
3 3
УвШ = 2 21 - 21
i<j i=l
Гамильтонова система в новом времени т, связанном с синхронным
временем t по формуле dx/dt ~ (<71<Мз)"*/2> имеет следующий
вид:
Р,=-Щ |>< Ш, + М. - Mi) +
+ 4-{пд} + nkqk- пд{) - (-Ц^) B/qt I ,
z \ i i J (4Лч
dH 1
ii= 12я'(pm +
Здесь i, j, к = 1, 2, 3, H = T (p^) -)-• 1/47й(д4).
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ
57
Важным свойством гамильтоновой системы (4.1) является наличие монотонной
функции
F = A (det fe,,))¦'- 4- +- (tm)> ±Ш' , (4.2)
at d (?1?2?8)/S
В силу системы (4.1) имеем
Т = -JsirfS- + м. + м.)1 + Г (га.) - ¦
(4.3)
Поскольку квадратичная форма - 73 (p1q1 + p2q2 + РзЯз)2 +
+ Т (ptqi) неположительно определена (имеет два отрицательных
собственных значения и одно нулевое^отвечающее направлению Р1Я1 = P2Q2 =
РзЯз) и по условию Н > О, то из (4.3) следует, что dF/dt 0. Таким
образом, d2 (detgijY^/dt2 ^ 0, следовательно, det (gij)(t) может иметь
только один локальный максимум и вообще не имеет локальных минимумов. При
F < 0 происходит сжатие объема det (gij)(t), а при F > 0 - расширение.
Оба эти процесса описываются системой (4.1) в одной области pxqx + + P2Q2
+ РзЯз < 0, но с противоположным направлением времени (в соответствии с
этим мы будем говорить о направлении времени в сторону сжатия (d (det
gij)/dt < 0) и в сторону расширения (d (det gij)/dt >0)).
Траектории системы (4.1) пересекают множество нулей производной dF/dt = 0
(pxq 1 = p2q2 - p3q3, Н = 0) трансверсально всюду, кроме особых точек Тк
{раЧа = 0, nfli = njqj, nkqk = 0). Следовательно, функция F монотонно
убывает вдоль траекторий системы (4.1) и система (4.1) не имеет особых
точек в физической области qt > 0 (кроме указанных особых точек Тк для
моделей
I и VII0 типов, соответствующих плоскому решению Минковско-го). Это
означает, что стационарных однородных космологических моделей, кроме
решения Минковского, не существует.
Все особые точки динамической системы (4.1) лежат на границе физической
области. Наличие у системы (4.1) трехмерного многообразия вырожденных
особых точек (qx = q2 = q3 = 0, импульсы pi произвольны), а также
некомпактность фазового пространства затрудняют исследования поведения
этой системы вблизи космологической особенности, т. е. вблизи qxq2q3 = 0.
Для исследования системы (4.1) методами качественной теории
дифференциальных уравнений мы построим компактное многообразие S с
динамической системой на нем, которая на внутренней части многообразия S
эквивалентна системе (4.1) и продолжается на границу Г многообразия S с
сохранением направления времени. Граница Г не является гладким
многообразием - она состоит из нескольких граней, которые пересекаются по
углам различных размерностей. При этом все особые точки имеют по крайней
мере два ненулевых собственных числа.
58
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
Некоторым особым точкам соответствуют траектории, входящие в них из
физической области - внутренности многообразия
S, такие точки дают степенные асимптотики решений вблизи особенности
ад2<7з - 0. Другие особые точки, лежащие в углах границы Г, не имеют
сепаратрис, входящих в них из физической области; их сепаратрисы целиком
лежат на крае многообразия S (вернее, на разных компонентах края,
пересекающихся по этому углу) и идут из одной особой точки в другую.
Особые точки и их сепаратрисы образуют "скелет" динамической системы:
