Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богоявленский О.И. -> "Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике" -> 20

Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.

Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике — М.: Наука, 1980. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikachestvennoyteoriidinamicheskihsistem1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 121 >> Следующая

(-2)#J = ?2з (nzg33 - n3g22) = О,
(-2) Д" = (n3gn - п^3) = О, (3.8)
(-2)Д" = g21 (nlg(tm) - n2gn) = 0.
Для однородной модели II типа (пх = 1, п2 - п3 = 0) с помощью внутреннего
автоморфизма соответствующей алгебры Ли можно одновременно привести
метрику ga(t0) к диагональному виду и добиться, чтобы коэффициент g23
(?0) = 0. В этом случае из уравнений (3.8) следует g13 (t0) = g2x (to) =
0. Для остальных однородных моделей класса А из уравнений (3.8) при gn Ф
g** сле-ДУет ёи ~ 0. Если же, например, g11 = g22 и пх = тг2 = 1, то
ортогональный поворот векторов Хх, Х2 сохраняет коммутаторы и
диагональность метрики gtj (t0) и позволяет добиться g^ (t0) = 0.
Таким образом, для каждой однородной космологической модели класса А в
начальный момент времени t0 можно с помощью линедного преобразования
векторов Хх, Х2, Х3, сохраняющего коммутационные соотношения, и в силу
уравнений Эйнштейна = 0 одновременно привести к диагональному виду две
матрицы, gu (t0) и gu (t0).
В силу остальных уравнений Эйнштейна для однородных моделей класса А из
диагональности начальных данных gtj (t0) и gij (t0) следует
диагональность решения во все моменты времени, что и означает искомое
одновременное приведение решения к диагональному виду.
Для однородных космологических моделей класса В уравнения Эйнштейна i?? =
0 (3.5) при условии диагональности метрики
48 КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
gi} (t0) имеют вид (при t - t0)
(-2) Д? = (n2gZ3 + 3a'g13)g3S = О,
(- 2) К = (3agu - ад,з)^33 = 0, (3.9)
(- 2)Д? =-а (и} + >4 - 2х(r)) + П]У.1 - п2>4 = О*
Из первых двух уравнений (3.9) при 9а2 + тг17г2 Ф 0 следует, что
^13 (*о) == ^2з (h) = 0. Решения уравнений Эйнштейна для однородных
моделей класса В с такими начальными данными имеют тождественно g13 (t) =
g23 (t) = 0, что и означает возможность приведения решения к виду с одним
недиагональным коэффициентом g12 (t). Исключительный случай 9а2 + пхп2 =
0 реализуется только для однородной модели VI типа при а - 1/3; в этом
случае необходимо рассматривать решения уравнений Эйнштейна в полном
пространстве трехмерных матриц (см. главу III). В случае однородной
модели V типа (а - 1, nt = 0) с помощью внутреннего автоморфизма
соответствующей алгебры Ли можно одновременно преобразовать метрику gtj
(t0) к диагональному виду и добиться, чтобы gl2 (t0) = 0. Поэтому (и в
силу уравнений (3.9)) решения уравнений Эйнштейна в однородной модели V
типа приводятся одновременно во все моменты времени к диагональному виду.
Для однородных космологических моделей класса А и однородной модели V
типа в качестве координат в пространстве диагональных метрик gij (t)
используем их собственные числа Qi (*) = 8и (*)• Для остальных однородных
космологических моделей класса В приведем метрику gtj (t) (имеющую один
недиагональный элемент g12 (t) Ф 0) к диагональному виду с помощью
зависящего от времени линейного преобразования З5 (?), сохраняющего
коммутационные соотношения в соответствующей алгебре Ли. Такие
преобразования имеют следующий вид:
Тип VII Тип III, VI Тип IV
(cosq> sin<p 0\ /ch<p sh<p 0\ /1 <p 0\
- sincp cos ф 0 1 gb(t) = l ch ф 0 1 (t) = 0 1 0 .
0 01/ V 0 0 1 / \0 0 lj
(3.10)
По определению имеем
= q, g = (^'ГЧ^-1, (3.11)
где g - матрица метрики (gij), q - диагональная матрица с коэффициентами
на диагонали q±, q2, g3.
Отметим, что для однородных космологических моделей класса А диагональные
метрики gti (t) тождественно удовлетворяют уравнениям Эйнштейна Л? = 0.
Для однородных моделей класса В метрики с одним недиагональным
коэффициентом (t) тождест-
ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
49
венно удовлетворяют уравнениям = 0, в то время как
уравнение i?(r) = 0 (см. (3.9)) является дополнительным условием, которое
будет учитываться в дальнейшем.
III. Тензорные компоненты уравнений Эйнштейна можно записать в весьма
удобной лагранжевой форме. Для этого воспользуемся выводом уравнений
Эйнштейна из принципа наименьшего действия (1.8), основанным на следующем
известном тождестве (в дальнейшем индексы тензоров принимают следующие
значения:
i, j, к, а, р = 1, 2, 3; Z, п, т = 0, 1, 2, 3):
6(Д/Й) = (Дтп -^gnmR) V\iГГ Sgnm + У\Г\ SnmbRnm. )3.12)
Здесь и далее | g | = | det (gtj) |. Последнее слагаемое в (3.12)
является дивергенцией (см. [84]):
УТ71 gnmbRnm = д {VW\ ut)/dz>, (3.13)
и поэтому интеграл от этого выражения по всему четырехмерному
пространству-времени в случае финитных вариаций метрики bgtj тождественно
равен нулю. Для однородных космологических моделей вариации метрики по
самому определению однородности не являются финитными, поэтому при выводе
лагранжевой формы уравнений Эйнштейна для однородных космологических
моделей последнее слагаемое в (3.12) необходимо учитывать (исключением
является однородная космологическая модель IX типа, где однородные
вариации метрики финитны в силу компактности^ группы SO (3)). С помощью
формул (3.5) находим
/ИgnmbRnm=- KI7WTgik (<) №i* + W (V^TiT "А (3-14)
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed