Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
F2, Vs покрывают окрестность этих компонент границы Г (кроме малой
окрестности особых точек Т7?) и для изучения поведения динамической
системы в этой окрестности достаточно исследовать динамическую систему
(4.12). Очевидно, что компоненты границы Г2, Г3, в координатах^(4.И)
определяются уравнениями у2 = 0, у3 = 0, w - 0 соответственно.
§ 5. Космологические модели I и II типов
I. Решения в однородной космологической модели I типа при к = 0 (р =
0), как отмечалось в § 2, были проинтегрированы явно в работах [59, 88].
Динамика этих решений полностью определяется замкнутой подсистемой
системы (4.9) при щ = 0 (при произвольных 0 к < 1):
Si = (1 - к) (1 - si (si + s2 + s3)) tf3, (5.1)
Я8 = 2 3*Л-1. (5.1)
i<j
Система (5.1) определена в круге D2 (4.7) (Н3'>0) на двумерной сфере S2:
s* + si + si - 1 и эквивалентна динамической системе
(4.9) на компоненте границъкГ^ (эта система одинакова для всех
однородных^ моделей класса А).
Многообразием S для модели I типа является, таким образом, круг D2.
Граница круга -- окружность S1: s2 + si + 53 = 1, Si + S2 + S3 = -V2 (Я,
= 0) - состоит из притягивающих особых точек, которым соответствуют
решения Казнера для пустого пространства:
<7i = C/pi, Pi = l- =1 + УТ*"- (5.2)
Система (5.1) имеет также одну отталкивающую особую точку которой
соответствует плоское решение Фридмана
g, = (5.3)
В силу системы (5.1) имеем (5! - s2)/(s2 - s3) = const, поэтому
траектории системы (5.1) являются дугами больших кругов на сфере 52,
выходящими (прит->-- оо) из отталкивающей особой точки Ф и входящими (при
т->+эо) в притягивающие
64 КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА 1ГЛ. II
особые точки на окружности S1 (рис. 7). При этом метрика имеет
асимптотики (5.3) и (5.2) соответственно.
Отсюда следует известное утверждение о том, что любое решение для
заполненного пространства в модели I типа в сторону сжатия имеет
асимптотику решений Казнера, а в сторону расширения - асимптотику
плоского решения Фридмана, т. е. изотро-пизуется.
Рис. 7. Фазовый портрет динами- Рис. 8. Качественное поведение траек-
ческой системы (5.4), определен- торий динамической системы (5.4) на
ной в круге D2 на единичной сфе- замкнутом трехмерном многообразии
ре S2 (однородная космологиче- S для однородной космологической мо-
ская модель I типа). дели II типа.
II. Исследуем асимптотическое поведение решений в модели
II типа, в которой wi=l, тг2 = п3 = 0. Система (4.i2) для этой модели
имеет вид
й = -й* + (2м - 1) Я2, ?т2 = 2v2H2, w = w (й - 1 + 2Я2),
= Уг(1 + ^2 ~ 2ы), ys = y3(l - v2 - 2й), q1 = q1(u-i).
(5.4)
Здесь
/7 2 - -1 (1 - (гг - I)2 --г?2 - ^2)-
Первые три уравнения (5.4) образуют замкнутую подсистему, которая
совпадает с динамической системой (4.9) на угле У1(у2 - Уз = (r)) границы
Г. Поэтому многообразием S для модели
II типа служит угол Ух, или половина шара Н2^0 (рис. 8):
(й - I)2 + v\ + w2 < 1, W < 0. (5.5)
Система (5.4) на S имеет следующие инвариантные многообразия: 1) w = 0;
2) v2 - 0; 3) Н2 = 0. Перечислим множества
§ 5] КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ I И II ТИПОВ 65
оеобых точек системы (5.4):
1) окружность: w = О, (й - I)2 v% = I;
2) точка Ф?0: w = 0, й = V2, ^2 = 0;
3) точка N1: й= > w = - ((1 -А) (1 + ЩУ/г,
v2 = 0.
Собственные числа этих особых точек следующие (в скобках около
собственных чисел указаны переменные, соответствующие собственным
направлениям):
1) X1 = _JI+iL( 1 + й), 'к2 = 0, (й, v2); Х3 = й -1, (Э).
Нулевое собственное число отвечает одномерности окружности особых точек
(1).
2) А1==-1(1 _/>•), (б); Х, = _|_(1_А). (-2).
1 3& . .
-w-. И-
3) ч2=ст+54т((1т1)(3 + 16А:-3*а))1/!'
. _ 2(1-*)
Ъ - к
("*)•
Отсюда следует, что дуга (м. << 1; см. рис. 8) состоит из притягивающих
особых Точек; особая точка Ny является отталкивающей; особые точки на
дуге BCD (й > 1) и Ф?° неустойчивы.
Траекториям, входящим в притягивающие особые точки на дуге DFB, отвечает
казнеровская асимптотика обобщающая точные решения (5.2):
д2~ С2 f2<^)/(i+iT), (5.6)
причем дуге /7? отвечает асимптотика К2 (показатель р2 < 0; см.
(5.2), т. е. q2 -> 00, qi, qs ->¦ 0 при ? 0), а дуге Z)/7 отвечает
каз-
неровская асимптотика К3 (р3 < 0). Отталкивающей особой точке iVi
отвечает следующее точное решение (которое также обозначаем N1),
устойчивое при расширении пространства:
?1 - Cxtb-VKi+V , g2 = C2f(3+fc)/2(i+^), g3 = С3^У2^К (5.7)
Одномерной сепаратрисе, входящей в неустойчивую особую точку Ф?э,
отвечает асимптотика Флх (5.3) (при t -> 0).
Асимптотическое поведение решений в однородной космологической модели II
типа полностью описывается следующей теоремой.
Теорема. Все метрики однородной модели II типа в заполненном пространстве
имеют при сжатии пространства одну
66
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА {ГЛ. II
из следующих асимптотик: Фдх, К21 К3. Притрасширении про-
странства все метрики стремятся к точному решению Ni (5.7). Решения в
пустом пространстве имеют при сжатии асимптотики К2, К3, а при расширении
