Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
? 4h 1 у i 2 a: = г ± 1 y = i
2 х - i y = i±A 2T x = i У = 7
1 х = i 2 гс = i
1 х = i ir a; = i
2 i = i
80 КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЁЁЗ ДВИЖЕНИЙ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. И
окружностям (if), к); на компоненте границы это же свойство следует из
явного интегрирования динамической системы на Гш, см. п. II. Вследствие
этого все траектории динамической системы на многообразии S, кроме
сепаратрис, входящих в особые точки Флх" Ti, при тоо приближаются к
множеству Р, которое и является поэтому притягивающим множеством.
Следуя современной терминологии притягивающее множество Р, которое не
является гладким многообразием, можно назвать странным аттрактором.
Отметим некоторые особенности этого странного аттрактора. Множество Р
расположено на границе Г, приклеенной к физической области многообразия
5, поэтому каждой отдельной траектории на Р не соответствует никаких
точных решений исходной динамической системы (4.1); динамика траекторий
на множестве Р весьма проста: все траектории являются сепаратрисами,
идущими из некоторой особой точки (г|), а) в другую особую точку (ф1,
ai). Однако траектории динамической системы (6.1) внутри многообразия S
при неограниченном приближении к аттрактору Р обнаруживают весьма сложное
поведение: каждая траектория при т -> оо аппроксимируется
последовательностью сепаратрис (6.20), которая в общем случае всюду
плотна на множестве Р. Действительно, последовательное изменение точек
($i) на особых окружностях (г|), к) вдоль траектории (6.20) определено
действием отображения Т на окружности S1 (проектирование из вершин
описанного равностороннего треугольника А, см. п. III, (6.16), рис. 10).
Отображение Т, очевидно, имеет степень -2 (Т меняет ориентацию на S1 и
каждая точка имеет два прообраза). Отображение Т имеет три неподвижные
точки - точки касания окружности S1 с треугольником А. Очевидно, что
отображение Т всюду увеличивает длину дуги (только в точках касания | dT
(q>) / dq> | == 1). Вследствие этого отображение Т имеет счетное всюду
плотное на S1 множество периодических точек, каждая из которых является
неустойчивой. Для всех остальных точек х на S1 множество Тк (х) (к -
1,2,...) является: всюду плотным на S1, поэтому и общая
последовательность сепаратрис (6.20) всюду плотна на аттрактбре Р.
Отметим, что отображение Т имеет гладкую инвариантную меру на окружности
iS1, которая становится сингулярной в точках касания S1 с А, причем
полная мера на S1 оказывается бесконечной.
Важнейшим свойством аттрактора Р в динамической системе на многообразии
5, описывающей однородную космологическую модель IX типа, является то,
что траектории динамической системы в окрестности аттрактора Р, несмотря
на* их весьма сложное поведение, допускают детальное исследование,
поскольку в се-паратрисной аппроксимации траекторий (6.20) все
сепаратрис-ные переходы проинтегрированы явно. Аналогичная ситуация
реализуется также и в некоторых других динамических системах,
КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЁЙЬ iX ТИПА
81
где аттрактор расположен на границе, приклеенной к исходной физической
области (см. главу VIII).
Напомним, что окружности особых точек (ф, к) находятся в углах границы
Y0123, гДе Уг = Поэтому на траектории, движущейся вдоль
последовательности сепаратрис (6.20), периодически qt ^> д7-, т. е.
изменение метрики gtj происходит в некотором колебательном режиме. При
этом при направлении времени в сторону сжатия траектория неограниченно
приближается к аттрактору Р и периодически оказывается все ближе к особым
окружностям (г[), к); следовательно, амплитуда колебаний величин д^д* при
т -> оо растет до бесконечности.
Общий колебательный режим поведения метрики вблизи космологической
сингулярности был впервые открыт Белинским, Лифшицем и Халатниковым (БЛХ)
[49, 50] и исследовался также Мизнером [58].
В работах [49-52] эволюция метрики (например, однородной космологической
модели IX типа) вблизи сингулярности разбита на ряд так называемых
"казнеровских эпох", в каждой из которых метрика аппроксимируется
решениями Казнера gt = где
"казнеровские показатели" pt удовлетворяют условиям:
Pi + Рг + Рз = 1, Р\ + Pi + Pi = 1. (6.22)
При сшивке двух соседних "казнеровских эпох" происходит смена
"казнеровских показателей", причем если на одной эпохе было Pi < 0 < Р2 <
Рз1 то на следующей эпохе
' _ ~ Pi ' 2Pi + P2 ' Zpi-\-ръ /а 00л
Pl i + 2Pl' Р'2~ 1 + 2й. ' Ps~ 1 + 2р! • (6-23)
Часто используется представление чисел рх < р2 < р3 в параметрическом
виде (и > 1)
Pi(u) = i + tt + lts " Ра(м)= 1 + ^+ц2 " РЛи) = •
Закон смены казнеровских показателей (6.23) выглядит особенно просто при
использовании параметра и [50]: если на одной каз-неровской эпохе было
Pl = Pl (и), Pm = Р2 (и), рп = Рз (и),
то на следующей казнеровской эпохе казнеровские показатели имеют вид:
Pi = Рг (и - 1), Рт = Pi {и - 1), рп = р3 (и - 1).
Покажем, что сепаратрисная аппроксимация траекторий (6.20) при выборе в
(6.21) однозначного перехода по пути / изоморфна описанию колебательного
