Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
[47]:
qi ^ Л2, qj^qk^ Ci. (6.11)
Указанные степенные асимптотики решений при сжатии пространства (t -> 0)
являются неустойчивыми, поскольку неустойчивы
72
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
особые точки Фдх, Nt и Tt. Траектория динамической системы, движущаяся в
окрестности сепаратрис, входящих в особые точки Флх" Nt, Ti, при
приближении к границе Г отклоняется от входящей сепаратрисы и начинает
двигаться вдоль сепаратрисы, выходящей из этих (неустойчивых) особых
точек. Все выходящие из особых точек Флх, N\, Т\ сепаратрисы лежат на
различных компонентах границы Г. Поэтому для изучения дальнейшего
движения траекторий вдоль границы Г необходимо исследовать поведение
динамической системы (6.1) на различных компонентах границы Г.
И. Исследование сепаратрис особых точек Фдх" Динамическая система (6.1)
на компоненте границы имеет вид
^ = (1 - к)( 1 - S{ (Si + s2 + s3)) H3,
• я (V . 'l (6Л2>
г/i = 82i Saya - Si ,
a=i
з
где Н3 - 2 23 $iSj - 1. В области Я3>0 в силу системы (6.12)
г<}
имеем (si - s2)/{s3 - s2) = const. Поэтому траектории системы
(6.12) в координатах Si движутся на единичной сфере + $2 + + si = 1
по дугам больших кругов, проходящих через точку Ф (Si = -l/j/З). При т -
оо эти траектории выходят из особой точки Ф, при этом согласно (6.12)
координаты yi стремятся к некоторым константам. Следовательно, все
траектории системы
(6.12) в области Н3^> 0 являются сепаратрисами, выходящими из
особых точек ФЛХ (si = - 1 / У~3, у\ + у\ + yl = 1, Z/i > О, w = 0).
Особые точки, заполняющие треугольник Фдх, на компоненте границы Tw
являются отталкивающими, причем сепаратрисы, выходящие из особой точки
(z/i, у2, z/3), заполняют некоторую двумерную поверхность.
Выясним, в какие особые точки входят при +оо сепаратрисы, выходящие из
особой точки (z/i, у2, у3) на треугольнике Флх- Каждая такая сепаратриса
в координатах si при т -> + °о стремится к некоторой (произвольной) точке
на окружности
S1: sj + $2 + $з = 1, $1 + s2 + $3 = - V2 (Н3 - 0). В силу системы (6.11)
имеем
(Уг / У if = - (VifyMst - Sj). (6.13)
Пусть особая точка (z/i, z/2, у3) лежит внутри треугольника Фдх. Тогда:
1) если < s°j, то ук/у^, ydyt -> оо при т оо, т. е. траектория стремится
к дуге (а^, к) на окружности особых точек (г|), к)\ 2) если 5? = s°j < (в
этом случае s? = 0), то у к/У] = const, Ук/Уг^оо, следовательно,
траектория при т ->• оо стремится К некоторой точке на отрезке В\.
КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ IX ТИПА
73
Если особая точка (уъ У*, Уз) лежит на стороне Ф? (yt = 0) треугольника
Фдх) то вдоль выходящих из этой точки сепаратрис у. == о, при этом: 1)
если s° < s°, то согласно (6.13) yj/yk -> оо при тоо, т. е. траектория
стремится к дуге (а/) + (р*,, /) (Sj < 5/f) на окружности особых точек
(г|), /); 2) если s°j = s?, то = const и траектория при si = - 2|/~2/3,
s° = s? = -1/3 V2 стремится к точке х* на отрезке А*, а при s°i - 0, s° =
si = - l/j/2 стремится к точке я* на отрезке 5*.
Если особая точка (i/i, i/2, #з) является вершиной Ф?° (ук = = 6н)
треугольника Фдх> то выходящие из этой особой точки сепаратрисы лежат в
углу границы Г (ук = 8к1) и вдоль них изменяются только координаты Sj.
Предельные (при т-> + оо) точки этих сепаратрис целиком заполняют
окружность особых точек (г|), i).
III. Исследование сепаратрис особых точек (ф, i), Ж*.
Согласно (6.6) на дуге (PJb i) (sj < Si < %) имеем Xi < 0, Я2 < 0" >0,
J14 < 0, следовательно, из каждой особой точки (s?), лежащей на дуге
(Pj*, i), выходит одномерная сепаратриса, вдоль которой у it = 0, w = 0,
s* = 5? = const, и отношение у^у% неограниченно растет. Конечная точка
этой сепаратрисы лежит на дуге (pi4, /) на окружности (-ф, /).
На дуге (Рд, i) (sj < % < Si) согласно (6.6) имеем м < 0, ^2 < 0" > 0"
^4 >Л, следовательно, из каждой особой точки
($?), лежащей на дуге (P;k, i), выходит двумерная сепаратриса, вдоль
которой w = 0, Si = S? = const (Н3 = 0). Динамика координат i/i, i/2, 1/3
определяется системой (6.12) и интегрируется в явном виде:
о
0 "8siT
Vi (*) = - з У<-------о---- • <6-14)
(S
Все эти сепаратрисы, кроме одной исключительной, при т -"¦ оо входят в
особую точку (Sj) на дуге (Рд, /'); исключительная сепаратриса, вдоль
которой z/j = 0, входит в точку (s?) на дуге (Рд, к) (следующий
сепаратрисный переход из этой точки также приво-дит в точку (s°i) на дуге
фл, /)).
Вдоль сепаратрис, выходящих из особой точки (Ьг, i) (,st = 0, si - sk - -
1/^2), имеем y^/yj = const, y^lyi оо при тоо. Следовательно, эти
сепаратрисы при т-^оо стремятся к произвольным точкам отрезка особых
точек Bt.
Вдоль сепаратрис, выходящих из отрезка особых точек At (st = -2^2/3, Sj =
sk = -1/3J^2) (см. (6.7)), имеем у/у* -
74
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
= const, ydy) оо при оо. Следовательно,, эти сепаратрисы при Т *->¦ ОО
входят в особую точку (аг, i).
В особых точках на дуге (a*, i) = (pu, i) + (a*, i) + (pifc, i) (si < Sj,
Sft) согласно (6.6) имеем X3, <0, X2 > 0; поэтому из
