Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
- асимптотику Кг.
Для доказательства первой части теоремы достаточно показать, что в
физической области w < О каждая траектория системы
(5.4), не являющаяся точкой покоя Ni, при направлении времени в сторону
сжатия входит в одну из особых точек на дуге DFB, или Ф?°. Допустим, что
в начальной точке траектории v2 Ф 0. Поскольку функция v2 вдоль
траекторий системы (5.4) монотонна, то траектория прижимается к границе
Н2 = 0 многообразия S (см. рис. 8). Особые точки динамической системы
(5.4) на границе Н2 = 0 заполняют две дуги, BCD и DFB. Траектории из
физической области w << 0 не могут войти в неустойчивые особые точки на
дуге BCD - траектории, входящие в эти особые точки, лежат на границе w =
0 многообразия S и поэтому не отвечают никаким физическим решениям.
На границе Н2 = 0 все траектории идут в притягивающие особые точки дуги
DFB. Поэтому и каждая приближающаяся к границе Н2 = 0 траектория (т. е.
все траектории внутри многообразия S) также попадает в одну из
притягивающих особых точек на дуге DFB. Предположим теперь, что в
начальной точке траектории v2 = 0. Система (5.4) на плоскости v2 = 0
имеет вид
и определена в полукруге И% >0, w <; 0. Легко проверить, что справедливо
тождество
Следовательно, согласно критерию Дюлака - Бендиксона, система (5.7) не
имеет предельных циклов. Поэтому существует единственная сепаратриса,
выходящая из точки Ni (которая на плоскости v2 = 0 является отталкивающим
фокусом) в виде раскручивающейся спирали и идущая в точку Ф^°. Все
остальные траектории попадают в точку F.
Изменяя направление времени, получаем, что в сторону расширения все
траектории из внутренней части многообразия S, т. е. в заполненном
пространстве,_попадают в ссобую точку N\.
Траектории на границе Н2 = 0 (т. е. в пустом пространстве) движутся по
окружности в плоскости й, wc постоянным значением v2, и, таким'образом,
выйдя из точки (й, v2) на дуге BCD, траектория
и
W* + (2ц - 1) Н2 = /-,
(5.8)
w = w(u - 1 + 2 Н2) -f
(1 - (" - 1 )2 -w2)
КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ IX ТИПА
67
попадает в точку (2 - и, v2) на дуге DFB, Соответствующие решения при
расширении пространства имеют асимптотику (5.6), отвечающую дуге BCD, т.
е. Кг (рг < 0), а при сжатии пространства - асимптотики (5.6) К2 (р2 < 0)
или К3 (р3 < 0).
§ 6. Космологическая модель IX типа1)
Однородная космологическая модель IX типа с группой изометрий SO (3) (ni
= п2 = п3 = 1) по своему значению занимает исключительное положение среди
остальных космологических моделей. Это обусловлено в первую очередь тем,
что однородная модель IX типа является единственным возможным однородным
возмущением однородного и изотропного закрытого решений Фридмана.
Наиболее важным при изучении однородной модели
IX типа является: исследование различных режимов поведения метрики
вблизи сингулярности, исследование наиболее сложного колебательного
режима поведения метрики, постановка и решение вопроса о типичных
состояниях метрики вблизи сингулярности при сжатии и при расширении
пространства, исследование характера изотропизации метрики при расширении
пространства.
I. Особые точки динамической системы и степенные асимптотики решений.
Динамическая система (4.9) на замкнутом многообразии S для
модели IX типа имеет вид
St = IV [-У1 (У] + Ун - yt) + Si (saya (ур + Уу - Уа))] +
4- (1 - А)(1 - Si (si 4" s2 Ss)) H2,
w = 2w [w (saya 0/p + Уу - Уа)) - (1 - k)(s! + s2 + sg) H2 +
+ 4 (Sa - 2sf0g)], (6.1)
h = 8Hi (say% - Si),
G - AG (sa - 2sgi/|),
3 3
где = - 1 + и>-т-^2 -lj, по индексам a,
i<j i<j
P? 7 - 1)2,3 в (6.1) производится суммирование; переменную времени т2 в
системе (6.1) далее обозначаем т.
Как отмечалось в § 4, из существования монотонной функции
17 ^ Н~" ^2 ""Ь" *з)
р ="3-~w(y у у f/ш слеДУет> что Динамическая система (6.1) не
имеет особых точек внутри физической области многообразия S и все ее
особые точки лежат на различных компонентах границы Г. Полная
совокупность особых точек состоит из множеств шести
г) Основные результаты этого параграфа были получены в совместной работе
автора и С. П. Новикова [12].
68 КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВЙЖЕЙИЯ ВЕЩЕСТВА 1ГЛ. it
типов: Фдх" Ti, Аи Bt, (\|), i) (рис. 9). Укажем координаты
этих особых множеств и их собственные числа.
1) Треугольник особых точек Флх лежит на компоненте границы Тго и
определяется условиями: w - О, st = -1/|/ 3, координаты у\, у2, уз
пробегают треугольник А, Н2 (Флх) = 1. Собст-
7
7-f'
г
/аг
4?
Рис. 9. Общее расположение особых точек динамической системы (6.1) па
многообразии S для однородной космологической модели IX типа.
венные числа системы (6.1) на многообразии S в этих особых точках имеют
вид
%l 2 = (1 - />:) у 3 (переменные sf),
Х3 = -2 (1 + 3к) / \/ 3 (переменная w), (6.2)
5 = 0 (переменные yt).
Обозначим Ф(r) стороны треугольника Флх (на Ф(r) yt = 0) и Ф?° - вершины
треугольника Флх (в Ф?° у к = 8щ).
2) Три изолированные особые точки Ni лежат в углах границы У* =
