Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
Г,-р|Гк и имеют координаты
Si = -(3 к) У 2щ, Sj - Sk - -(5 - к)ио/У2,
w = 8 (1 + ЗА) (1 - к) ul, уг = 1, yj = ук = 0, (6.3)
щ = (43 + 2к + ЗА2)"1/*.
§ 6] КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ IX ТИПА 69
Собственные числа системы (6.1) в особых точках Nt имеют вид = 8 (1 - к)
У 2 и0 (переменные sj),
К, 3 = 4 [(1 - k) + i ^(3 + 16к - 3&2)j1 J У2 и0
(переменные Sj, го), (6.4) Я4 = Къ = -4 (1 + ЗА.) У(переменные yt).
3) Три отрезка особых точек Тt лежат на компонентах границы
Tt и имеют координаты yt = 0, г/7- = ук = 1/|/2, st = О,
Sj = Sk = -1/}/"2, 0 < w <; оо, Я2 (Г*) = 0. Один конец отрезка Гь
имеющий координату w = 0, лежит в пересечении Г* П
а второй конец - Т\ {w - оо) в локальной карте Wi (4.2) имеет координаты
S\ - s2 = s3 = 0, т. е. лежит в пересечении Гх f] П Г0 П Система (6.1) в
особых точках Тх имеет следующие собственные числа:
А* = -4У 2 (переменная г/г),
^2,з = =Ь 2ijAz;, А,4 = - 2}/"2 (1 - А), А,б = 0 (переменные
ук, si, w). (6.5)
4) Три окружности особых точек (\|), i) (0<]\|) ^ 2я, i = 1,2,3)
являются пересечениями четырех компонент границы Г7- р) f] р| Tw р| Г0 и
имеют координаты г/7- = б*j, w = 0. Координаты si, 52, s3 пробегают
окружность S'1:
+ S2 + $3 - 1" S1 + $2 + S3 - -У 2*
Система (6.1) имеет в особых точках (\|), i) следующие собственные числа:
= 2 (1 - к) (s 1 + s2 + s3) (переменные 5/),
^2 = 8 (sj + sk - st) (переменная w), (6.6)
А,3 = 8 (st - 5^), - 8 (^ - sk) (переменные i/j, yk).
Нулевое собственное число кь соответствует (так же как и Хъ - 0 для
особых точек на отрезке Tt; см. (6.5)) одномерности множества особых
точек (\|), ?).
Окружность S1 разбита точками at (st = -2|/^2/3, Sj = sk = = -1/3]^2) и
bi (si = 0, sj = sk = -1/|^2) на шесть дуг pifc (рис. 10); на римеем
st<. sk <. Sj < 0. Удобно ввести также
дуги а? = р^ + сц + PiTc (s* < 5j, 5jt). Дуги особых окружностей
(\|), i) будем обозначать (аь к), (P*j, к), где к = 1, 2, 3 указывает
номер окружности.
70 КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
Таблица 2
Знаки собственных чисел особых точек на дугах окружностей (г|з, г)
<p*i.0 ofcj, i) <pj*. *>
Xl (U>) + + - - - -
ht (у,) - - - + + +
*4 (Уц) - - + + + -
В табл. 2 указаны знаки собственных чисел (6.6), зависящие от положения
особой точки на окружности (ф, i) и не меняющиеся внутри каждой дуги
(pjfc, i).
Из таблицы следует, что все особые точки на окружностях (\|), i), кроме
точек а*, bi (в которых собственные числа (6.6) меняют знак), являются
невырожденными и неустойчивыми.
5) Три отрезка особых точек At и три отрезка особых точек Вг лежат в
пересечении компонент границы Г* р| п г№ П Го. В этих особых точках yi =
0, у) + у I = 1, ш = 0, Ht(At) = Ht(Bt)=, = 0. На отрезках At имеем si =
-2f/_2/3, sj = sk = = -1/31^2- Собственные числа системы (6.1) в особых
Рис. 10. Окружность S1 разбита на шесть дуг pi/f. Прямые, проходящие
через вершины треугольника А, определяют на окружности S1 отображение
проектирования Т.
точках At имеют вид
= 4 ]^2 (переменная г/?),
%2 = -2Y2 (1 - к) (переменные sj),
-16]/^2/3 (переменная w),
А/4 - %ь - 0.
(6.7)
На отрезках Bt имеем st = 0, sj = sk = -1/|/^2. Собственные
КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ IX ТИПА
71
числа системы (6.1) в этих особых точках имеют вид
А* = -4 |^2 (переменная г/i),
А, = - 2/2 (1 - к) (переменные sf), (6.8)
%3 = = Хь = 0.
Отрезки особых точек At соединяют особые точки (аь, к), (а*, /), а
отрезки В\ соединяют особые точки к), (bij), лежащие на
особых окружностях (г|), к), (г|), /).
Приведенное вычисление собственных чисел особых точек показывает, что
динамическая система на многообразии S вообще не имеет притягивающих или
отталкивающих особых точек. Особые точки множеств Фдх> Ti и (г|), i)
являются невырожденными (т. е. число нулевых собственных чисел равно
размерности этих множеств) и неустойчивыми (поскольку в каждой особой
точке имеются собственные числа с противоположными знаками их
вещественных частей; отметим, что неустойчивость особых точек Ti
проявляется только во втором порядке и следует из анализа поведения
динамической системы на границе Г^; см. ниже, п. IV). Вырожденные особые
точки At я Bt также являются неустойчивыми.
Сепаратрисы, входящие в особые точки Фдх> Ti, проходят (почти все) в
физической области многообразия S. Решения, соответствующие этим
сепаратрисам, имеют степенные асимптотики метрики при сжатии пространства
(t 0). В особые точки на множестве Флх входит трехмерная сепаратриса
(отвечающая собственным числам Х3, Я,4, кь (6.2)), которой соответствует
квазиизот-ропная асимптотика, найденная впервые Е. М. Лифшицем и И. М.
Халатниковым [48] и обобщающая асимптотику решений Фридмана:
qt " CitVW+V. (6.9)
В особые точки Nt входит двумерная сепаратриса (собственные числа Я,4, кь
(6.4)), которой отвечает асимптотика, найденная впервые С. П. Новиковым:
qt " Cjffc-Wfc+fr), qj ж (6.10)
qk ж Ckt(3+fr)/2(i+fr).
В особые точки Ti входит трехмерная сепаратриса (собственные числа Xi,
А4, Я,5 (6.5)), которой отвечает асимптотика, обнаруженная впервые Таубом
