Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
каждой особой точки (s?), лежащей на дуге (a,-, i), выходит одномерная
сепаратриса, вдоль которой ук = 6^. Динамика координат w, st определяется
системой (6.1) на угле границы ук = 6^:
Si = w (1 - sf) + (1 - k)(i - Si (sx + s2 + ss)) ff2,
sj = w ( SjSj) + (1 - k)(l - Sj (si + s2 + s8)) H2, (6.15)
4 =W {-SiSk) + (1 - A)(l - Sft (Si + s2 + s8)) H2,
ti? = 2и> (-s^m;-(1-k) (Sj-f- s2 S3) H2 4 ( sa 2s{jj ,
a=l
3
где H2 = 2 2 s*5; -14- wj4. Рассматриваемая сепаратриса, в силу
i<; ______________________________
ее единственности, лежит на поверхности Н2 = 0. Вдоль этой сепаратрисы,
согласно (6.15), s/s^ =const, st > 0, следовательно, на сфере si + si +
S3 = 1 сепаратриса движется по дуге большого круга, проходящего через
точку Si = 1, sj = sk = 0 и через начальную точку (s*), лежащую на дуге
ос* окружности S1. Конечная точка сепаратрисы (4) является второй точкой
пересечения этого большого круга с окружностьjp S1:
ю=о, *}=_.s;,--------------------^.*1-=-i
3 + 2/2 5? ; 3 + 2 у 2 *9 ' * 3 + 2/2
5?
(6.16)
Приведем простую геометрическую интерпретацию полученного отображения Т
окружности S1 (начальная точка сепаратрисы отображается в конечную
точку). Окружность S1 лежит в плоскости Р: si + s2 + s3 = -Y2 и вписана в
равносторонний треугольник А - пересечение плоскости Р с гранями
квадранта Si 0. Точки касания S1 с А разбивают окружность на три дуги ai
(см. рис. 10). Рассмотрим прямую I - пересечение плоскости = const, в
которой лежит сепаратриса, с плоскостью Р. Очевидно, прямая I проходит
через i-ю вершину треугольника А, начальную точку сепаратрисы (s?),
лежащую на дуге atJ и конечную точку сепаратрисы (s\). Следовательно,
отображение Т является проектированием дуги (a*, i) окружности 51 лучами,
выходящими из i-ж вершины треугольника А, на две другие дуги:
(ал 0 + (&м 0 + (аь 0 = (Pji> 0 + (аь 0 + (Рд" 0 "Ь
+ (&*•" 0 + (Pfcjj 0 + (ак, 0 + (Р^г" 0 (6-17)
(см. рис. 10).
.0 о0
Sj
КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ IX ТИПА
75
Исследуем сепаратрисы особых точек iV*. Особые точки N(
(6.3) согласно (6.4) имеют двумерную входящую сепаратрису, лежащую в
физической области многообразия S, и трехмерную выходящую сепаратрису,
лежащую на угле границы ук = 6ife. Система (6.15) на угле границы ук = 8^
имеет одну отталкивающую особую точку Ni, седловые особые точки на дуге
(at, i) ив вершине Ф?° треугольника Фдх и притягивающие особые точки на
дуге
(6.17) окружности особых точек (г|), г). Система (6.15) эквивалентна
системе (5.4), описывающей динамику однородной космологической модели II
типа, которая была исследована (в других фазовых переменных) в § 5.
Из результатов § 5 следует, что все сепаратрисы, выходящие из особой
точки Nt, кроме одной, при т-" + оо входят в (произвольные) особые точки
на дуге (6.17). Исключительная сепаратриса, лежащая на инвариантном
многообразии Sj = (v2 = 0), выхо-
дит из особой точки Ni в виде раскручивающейся спирали и при Т ОО входит
в особую точку ф|°-
IV. Исследование сепаратрис особых точек IV В отрезок особых точек Tt,
согласно (6.5), входит трехмерная сепаратриса, заполняющая инвариантное
многообразие Vt: уj = ук, Sj = sk. Пересечение этого многообразия с
компонентой границы Г* (уь = 0) является двумерной плоскостью X: yi = 0,
у$ = ук = 1/|/~2, Sj = sic, заполненной сепаратрисами, входящими в особые
точки Tt и соответствующими собственным числам Х4Д5 (6.5). В окрестности
особых точек Ti все траектории системы (6.1), не лежащие на многообразии
V%, вследствие наличия чисто мнимых собственных чисел (6.5) вращаются
вокруг многообразия V\. Покажем, что при этом на компоненте границы Ti
все траектории удаляются от инвариантной плоскости X (это и означает
неустойчивость особых точек Ti). Действительно, на компоненте границы Г4
(yt =0) функция Н2 (см. (6.1)) имеет вид
следовательно, 2 2J sisj - 1^0" а это при si + s2 + s3 ^ 0
i<j
означает, что все % 0. Вследствие этого на компоненте грани-
цы Г* следующая функция Ft монотонно возрастает вдоль траекторий системы
(6.1):
з
г<;
3
d%
32 (6.18)
wVkUj
Отметим, что траектории системы (6.1) пересекают поверхность = Sj ¦-
множество нулей производной dF/dx2 - трансверсально
76
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
(всюду вне плоскости X). Поэтому вне плоскости X каждая траектория X
покидает любую конечную область U внутри компоненты границы Г* и,
следовательно, стремится к углам границы yt = о, w = 0 или уг = уj = О,
ук = 1; уг = ук = 0, у} = 1 (иначе функция F\ вдоль траектории X в
области U возросла бы неограниченно). При приближении к углам границы
траектория X начинает двигаться вдоль траекторий на этих углах границы,
которые, как показано выше, входят в особые точки Nj, iV*, Ф?, Аь Ви
(г|), /), (г)), к). После конечного числа переходов вдоль сепаратрис
неустойчивых особых точек траектория X входит в притягивающие (на
компоненте границы Г*) особые точки на дугах (р#, A), (Pfj, j) или же
траектория X сама является сепаратрисой одной из неустойчивых особых
