Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
"физической" области многообразия S, кроме трех исключительных точек Т\\
sk = 0, у^ = 0, у^ = у^ =
4i -> Цг, Ф^: Pi -+Pi, Фл,: Т (4.10)
з з
2 - 2 s? >0, sx + s2 -f <0,
г<j i=1
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ
61
Углы границы Yt также имеют пересечения в точках, где сходятся три
компоненты границы (пересечение не обязательно в общем положении) Ум - f)
Yt (к, I = 0, 1, . . 6; a = 1,2,3):
Yoa = dY& X Yqi ~ Y= д& X S1, Y= Ta,
Ya± = xa X Z)2, Ya§ = xa X S1, Y- YQ45 = ЗА X Sl.
Здесь xa - три вершины сферического треугольника А. Имеются также -
пересечения четырех компонент границы, или четырех углов: Уоа4 = Уоа5 =
Уа45 = У0а45 = X S1 = (ф, а). Ок-
ружность (гр, а) (гр - угол на окружности, a - номер вершины ха) имеет
координаты w = 0, yt = бга/ sx + s2 + s3 = - Y2, + si + = 1 (Н2 ((^j, a))
= 0) и полностью состоит из особых
точек динамической системы (4.9).
Все пересечения углов границы также являются инвариантными множествами
динамической системы на многообразии S.
У многообразий S, соответствующих разным моделям, могут быть
полностью тождественными некоторые компоненты границы Г, или некоторые
углы, вместе с динамической системой на них. Например, система на
компоненте угла Yj, соответствующей i-ж вершине, определяется тем, будет
ли пг = ±1, или nt = 0 (см.
(4.9)). Для всех моделей система на границе (w = 0) одна и та же. Все
особые точки на вместе с их собственными числами и сепаратрисами,
лежащими на Tw, одинаковы для всех моделей класса А. Для моделей с
разрешимыми группами (типа I, II, VI0, VII0) система (4.7) содержит
замкнутую подсистему меньшего числа уравнений, поэтому нет необходимости
рассматривать эти системы на полном пятимерном многообразии S. Фактически
вся информация об этих моделях содержится в моделях VIII и IX типов,
поскольку динамические системы, определяющие эволюцию однородных моделей
с разрешимыми группами, совпадают с системами на различных компонентах
границы Г и углах Yt для моделей IX и VIII типов.
Функция F (4.2) в силу инвариантности относительно масштабных
преобразований (4.10) определена также на пятимерном многообразии S ив
координатах (4.5) имеет вид F = (sx + s2 + + ss)/3w (УгУъУзУ1*- Отметим,
что на компонентах границы Гх, Г2, Г3, Vw имеем w (у±У2УзУ^ = 0; на
компоненте границы
Г* (yt = 0) из условия #2 - (sx + s2 + s3)2 - 2 - (njyj - щуъ)2 >
> 0 получаем (sx + s2 + s3) < -Y 2 и точно так же на компоненте границы
поэтому на компонентах границы Г^, Гх, Г2, Г3 при конечных w функция F =
-оо. Единственными точками на этих компонентах границы, в которых функция
F Ф -оо (и не определена), являются особые точки Г* (ist = 0, yt = 0, Уэ
= Ук = 1/V 2)* Из монотондости функции F (см. (4.3)) следует,
62 КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
что вс(c) траектории динамической системы (4.9) для моделей IX и VIII типов
при т оо покидают любую компактную область U внутри многообразия 5, а
также на компонентах границы Г0, Тт (иначе функция F, ограниченная в
области ?/, неограниченно возросла бы по модулю). Следовательно, все
траектории динамической системы (4.9) для моделей IX и VIII типов при т -
>• оо приближаются к компонентам границы Гх, Г2, Г3, Гад, при этом F -> -
оо.
Отметим, что локальные координаты (4.4) и (4.5) удобньГ прежде всего для
построения компактного многообразия S. Однако исследование особых точек,
например динамической системы (4.9), для некоторых моделей приводит к
громоздким вычислениям, поскольку здесь фактически имеется замкнутая
система семи уравнений в переменных sj, w, yh определенная на уровне
связей
*2 + $2 + у1 + у\ + У * = 1. Для исследования динами-
ческой системы (4.9) во многих случаях удобно преобразовать ее, после
разрешения указанных связей, в замкнутую систему пяти уравнений. А
именно, при ух >> 0 введем новые координаты Fi:
Уз
*/з = - ,
У1 (4.11)
= 75------и?!2
i (S-2 -Г i'd)
и сделаем замену времени =---------------------q\,--. При у2 Ф 0 и уа Ф О
at (ЯгМз)1г\ш\ введем две аналогичные системы координат V2 и F3,
циклически переставив индексы 1, 2, 3. Динамическая система (4.1) - (4.9)
в координатах (4.11) и времени т3 принимает вид
й = "j, ("г^г + "зУз - - йИ\пгУг ("х + п3у3 - п^2) + _
+ п3у3 (гах + "2*/2 - п3у3)) + (2ц - 1 )Ни
"2 = 1"2^2 {пХ - п2у2) - п3у3 (nl-n3y3)\w2' -
- v2w2 (п2у2 (гах + п3у3 - п2у2) + _
+ туз ("1 + П2у2 - п3у3)) + 2уаНъ (4.12)
w - w [й - 1 - w% (п2у2 (пх + п3у3 - п^2) +
_
+ П3у3 ("! + "2^2 --- ПзУз)) +
J/2 = Уг (1 + ^2 - 2й), Уз = уз (1 - г?2 - 2й), = qx(p- 1),
где
Bi = H (qM)^ 4 = ^ 11 - (й - I)2 - +
я\ 4
г^2 (2п\п2у2 + ^п1ТЧУз "Ь ^пчпъУ%Уъ - r*i - ^2 - пзУз)\* Система
координат Vx (4.11) определена при у± > 0 и s2 + $з <
К0СМ0Т0Л0ГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ I И II ТИПОВ
63
следовательно, w < 0. Из условия Нг 0 следует, что на компонентах границы
Гх, Г2, Г3, Г^ многообразия 5, кроме трех точек Т\: s*. = 0, Vi = 0, yj =
ук = 2~1/2 (если они принадлежат многообразию S для рассматриваемой
модели), координата w ограничена по модулю. Поэтому системы координат Fx,
