Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
к которому приводится (I, 5,13) при учете (I, 5,14).
Таким образом, в случае слабого поля можно построить координаты, в которых тензор Риччи с точностью до членов первого порядке относительно величин HiJ и их производных имеет компоненты
Rii Uhih (1,5,15)
а тензор Эйнштейна (I, 2, 23) выражается формулой
Bii =4 ? (а<7- т М) • О. 5; 16)
Пользуясь этими координатами и отождествив Xi, с тензором Эйнштейна, напишем уравнения поля (I, 5, 4) в виде
і ? (Al/ -4 М) = - (I, 5,17)
Если принять еще во внимание соотношение
Y П А = х7\
которое получается из (I, 5,17) путем умножения на O'' и полного свертывания, то (I, 5,17) преобразуется к виду
4 ? Ы, = - * (Ти - \ б"Т) > (*> 5Л8>
где T — скаляр тензора энергии-импульса, равный бааГаа- Рассмотрим последнее из уравнений системы (I, 5, 18), соответствую-
42 щее / = / = 4. В первом приближении компоненты тензора энер-гии-импульса, зависящие от скоростей, могут быть опущены, и единственная отличная от нуля компонента будет T144 = q. Скаляр
этого тензора равен q. Заметив далее, что оператор ? + A =Jja,
приложенный к Л44, дает величину более высокого порядка, вследствие чего волновой оператор — Q можно заменить лапласианом, получим последнее из (I, 5,18) в виде
A (-4^) = -4^- (1,5.19)
Таким образом, отождествление Хц с тензором Эйнштейна находится в согласии с условием D ив случае слабого поля обеспечивает переход уравнений поля в уравнение Пуассона для ньютонианского потенциала. При этом полное совпадение (I, 5,19) с уравнением Пуассона (1,5,2) достигается определенным выбором постоянной к. В системе CGS имеем
X = TT- (1,5,20)
Если же пользоваться так называемой релятивистской системой единиц, в которой гравитационная постоянная теории Ньютона и скорость света имеют единичные значения, то
к = 8л. (1,5,21)
Итак, в согласии с условиями А — D уравнения поля гравитации можно написать в форме
Rii —т= - SnTih (I, 5,22)
Уравнения поля (I, 5,22) допускают простое обобщение. Поскольку метрический тензор играет при ковариантном дифференцировании роль постоянной, можно, не нарушая условий А—С, принять
Xii = Rij — Y SaR + ^gih
где Л — произвольная постоянная. Величине Л для согласования с условием D необходимо приписать достаточно малое значение, чтобы при переходе К первому приближению членом AgiJ можно было пренебречь. Вместо (I, 5,22) можно написать
Ru - 4 giiR + ^gii = - SnTlJ. (I, 5,23)
Эти уравнения называют уравнениями поля с космологическим или Л-членом. При достаточно малом значении космологической постоянной А введение этого члена не изменяет приближенных решений уравнений поля. Однако точная форма (I, 5,23) весьма существенно отличается от (I, 5,22).
43 Кроме приведенных выше условий А —D9 Эйнштейн при обосновании уравнений поля принял [12] дополнительное требование, согласно которому тензор Хц представляет собой линейную функцию относительно вторых производных от gij по координатам и не зависит от производных более высоких порядков. Это допущение, принятое по аналогии с уравнением Пуассона, является чисто математическим ограничением, не получившим какого-либо физического обоснования. Между тем оно оказывается весьма существенным, определяя вид тензора Хц с точностью до трех произвольных постоянных. Как показал Фермейль [50], все тензоры второго порядка, зависящие только от gif и от их первых и вторых производных и являющиеся при этом линейными функциями вторых производных, с точностью до постоянного множителя имеют вид
Xu = Rif + CigijR +C«gih
где R — инвариант тензора Риччи, a Cl9 C2 произвольные постоянные.
Воспользовавшись законом сохранения Xfia = 0 и соотношением Rfla =-1/^.( смотр. (I, 2,22), находим C1 = — у. Следовательно,
Xti = Ru ~ Y SaR + C2gih
Отсюда непосредственно вытекает, что с точностью до члена вида C^gii сформулированные выше условия А — D вместе с дополнительным допущением Эйнштейна определяют уравнения поля вполне однозначно. Если же отказаться от этого дополнительного допущения, то уравнения поля (I, 5,22) не будут необходимым следствием условий А—D.
Почти одновременно с Эйнштейном уравнения поля в форме (I, 5,22) были выведены Гильбертом [18] на основе вариационного принципа и теории вещества Ми. Однако с физической точки зрения вывод Гильберта не является удовлетворительным. К числу его недостатков относится не только специальное предположение о строении вещества, которое не является необходимым (вывод уравнений поля на основе вариационного принципа, свободный от этого ограничения, см., например, в [51]), но также постулирование принципа наименьшего действия для гравитационного поля и материи. Представляется более естественным, следуя Эйнштейну, рассматривать вариационный принцип в качестве математического следствия уравнений поля подобно тому, как вариационные принципы классической механики выводятся из законов Ньютона. Придерживаясь этой точки зрения, мы не приводим здесь формулировки вариационного принципа.
В некоторых случаях удобнее пользоваться иной формой уравнений поля. Введем величину
