Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
L = V~g gax (Г*«Г V-rA, (I, 5,24)
44 которую по аналогии с ньютонианской механикой обыкновенно называют функцией Лагранжа. Положим
f-v—tf. tf-g.
Рассматривая L как функцию величин q, qk*i, можно доказать соотношения
7Т7 ~ - + rf^ TTl = - + (1' 5'25)
дд і Oq^
которыми мы и воспользуемся. Составим расходимость
д Ы дха ддЦ
и вычтем из нее первое из (I, 5,25). Сравнивая полученное таким образом соотношение с определением тензора Риччи (It 2,21), находим простое выражение компонент этого тензора через функцию Лагранжа
d dL__dL_
дха dq'j dqi]
== ^Ti---TTf ' (I, 5,26)
Нетрудно убедиться втом, что лагранжиан L является однородной функцией как величин q?i, так и их производных qji, хотя и с различными показателями однородности. В самом деле, умножая первое из равенств (I» 5,25) на q*l и производя суммирование по i9 j, получим согласно определению (I, 5,24)
Oii^f = -L- (1,5,27)
Если умножить второе из (I, 5,25) на производную
Ча У ё дха ^r ё дха ' которую можно представить в виде
„<< = л - /'г* ? + A).
так как
a in V^g рз =lu?'
в чем мы уже убедились в предыдущем параграфе, и dg11
45 вследствие glt[ 0, то после простых преобразований будет
ІЇТЇЇ =2L (1'5'28)
dQa
Образуем теперь тензор Эйнштейна (I, 2,23). Пользуясь соотношением (I, 5,26), легко находим
Eu = (676? - 4-ЛйГО _ - - SnTih (I, 5,29)
^at -.^JLJL-Ik
\дхадд°х дЯ°Х
Для пустоты система (I, 5,29) принимает очень простую форму
- ----д— =0, (I, 5,30)
дха dqlx dqox \> > >
аналогичную уравнениям Лагранжа классической механики.
В общем случае уравнения (I, 5,29) позволяют найти выражение для псевдотензора энергии гравитационного поля, который был введен в предыдущем параграфе. Согласно определению (1,4,16) псевдотензор удовлетворяет системе уравнений
F V!
дха ~ 2 Гіі дхк •
Поэтому
' дж" v ё\ 2 S'iS дхм + дхк ) \dx« dqOT Sqt3x/
(I, 5,31)
На основании известной теоремы о дифференцировании определителей можно написать
ii^il = dg gg дх* дх^
так как произведения ggV являются алгебраическими дополнениями элементов gij в определителе \gij\. С другой стороны, из соотношения giJgiі = 4 вытекает
аЧ =-S4^L ё дх* 8" дх* '
Следовательно,
dg'7___1 dg
ЄіІ дхк~ е дх"'
Пользуясь этим соотношением, можем написать
к*-
46 вследствие чего (I, 5,31) принимает вид
< -Jd dL 9L\
или
I?« ** д dL\, dL dq0Xx . dL П с.
Составим далее частную производную от функции Лагранжа по координате хк . Имеем
dL = dL ддат dL дяУ дх* dqm дх* dq°ax дх* '
Если принять во внимание соотношение
дхк дхадхк дха 9
то получится
IL = dL dL n°r
dqlx дха dxk dq01^ '
Поэтому уравнение (I, 5,32) переходит в следующее
і* д(к д ( ar dL еа,\ 16 я—- =--а?т--ObL .
дха дха\Чк dqGX k )
Таким образом, с точностью до члена с исчезающей расходимостью можно принять
= - ^t + OJ^L (I, 5,33)
OQi
Эта формула выражает псевдотензор энергии гравитационного поля через метрический тензор, описывающий геометрию пространственно-временного континуума.
§ 6. Вопрос об однозначности уравнений поля
Вернемся к вопросу об однозначности гравитационных уравнений Эйнштейна.
В предыдущем параграфе сформулированы четыре условия, которые играли роль основных руководящих указаний при отыскании формы уравнений поля. Мы видели, что присоединение к ним дополнительного условия, требующего, чтобы тензор Xii в (1,5,4) был линейной функцией вторых производных от компонент метрического тензора по координатам и не содержал производных более
47 высоких порядков, позволяет определить этот тензор однозначно. Единственность уравнений поля может при этом нарушаться лишь вследствие неточности определёния тензора энергии-импульса.
Если же отказаться от дополнительного условия, которое имеет главным образом формальное значение и по-видимому не поддается удовлетворительному обоснованию с физической точки зрения, то уравнения поля оказываются неоднозначными, поскольку они не могут быть выведены из условий А — D. Формальное доказательство такой неоднозначности связано с исследованием уравнения
Х?,« = 0, (1,6,1)
где XiJ — искомый симметричный тензор второго порядка, выражающийся через метрический тензор.
Требуется показать, что тензор Эйнштейна Rij--^gij- R не является единственным решением уравнения (If 6,1). Интегрирование этого уравнения в ковариантных производных оказывается довольно сложной задачей. Поскольку такое интегрирование не является для наших целей необходимым, мы укажем здесь, каким образом могут быть получены частные решения, существенно отличающиеся от решения Эйнштейна.
Построим тензор второго порядка, называемый гамильтоновой производной от инварианта.
Прежде всего введем понятие о дискриминантном тензоре Риччи, т. е. тензоре четвертого порядка Zijkl антисимметричном относительно всех пар индексов с основной компонентой е1234, равной квадратному корню из абсолютной величины метрического определителя. При g < 0 компоненты ZiJkl тензора Риччи равны ±V—g, если группа индексов ijkl отличается от 1234 четным или нечетным числом перестановок соответственно, или нулю, если среди этих индексов имеются равные.
