Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
ds2=-f і (г) dr2 - ft (г) (гЧв2 + г2 sin2 0dcp2) + /, (г) dl2,
60 потребовав, чтобы с исчезновением массы каждая из функций fu f2у /з приводилась к единице. Если положить /2 (r)f2=r\, то линейный элемент примет вид
ds* =-F1 (rL) dr\ - rid®2 - r\ sin2 Qdy2 + F2 (r,) dt2.
Таким образом, сферически-симметричное решение должно иметь форму
ds2 = — e"dr* — /W — г2 Sin2 всГф2 + Mt2, (II, 1,3)
где а, ?—функции одного г, приводящиеся к единицам на бесконечности и обеспечивающие переход от (11,1,3) к (II, 1,2) в отсутствие массы. Задача сводится к отысканию функций a,?, при которых форма (II, 1,3) удовлетворяет уравнениям поля (II, 1,1).
Если принять обозначение г, 0, ф, t = х* при і = 1, ... 4, то компоненты метрического тензора, соответствующего линейному элементу (11, 1,3), будут
gll = — ?22 = — г2, g33 = —r2 Sin2 0, ?44 = gif = О, ІФ j.
Определитель, составленный из компонент этого тензора, выражается формулой
?= —r4Sin20^+?,
а контравариантные компоненты будут
= gi* = e-?<gli=0 <іфі
Пользуясь этими значениями, нетрудно составить выражение для компонент тензора Риччи.
Вследствие gn = g'i = 0 при і Ф j символы Кристоффеля вычисляются в данном случае по формулам
г< _ 0 Г{._ _ і dIlL г'. - L0U dIiL
1,4 -Uf 1„- 2g ^9 Іц- 2 g dxf ,
Г* LaUdIlL
" дх' 9
в которых /, /, k —различные фиксированные индексы. Пользуясь приведенными выше значениями компонент метрического тензора, легко убедиться в том, что все отличные от нуля символы Кристоффеля даются соотношениями
Г1 — q/ T2=JL г3 = — Г4 — -?1 Г1=_ а
1 Il — 2* А12 г» А13 г» 14 - 2* 22 »
T33 = COt 0, Г33 = — г sin2 Qe-T233 = — sin 0 cos 0, Г1 — -fil (&—а
1 44 — 2 *
61 Поэтому диагональные компоненты тензора Риччи равны
?" a'?' Р'а а' 11 ~2---4 ' 4 г"'
Язз = [ 1 + Y Ф' - a') sin2 В — sin* в,
тогда как остальные компоненты этого тензора тождественно исчезают.
Таким образом, система уравнений поля (II, 1,1) сводится в данном случае к трем уравнениям
2 4 T 4 г e^
1 +^(?'-a')]-l=0,
(II. 1.4)
Первое и третье из уравнений этой системы дают
a + ? = C,
где С — постоянная интегрирования. Как уже указывалось, на бесконечности функции е®, должны приводиться к единицам, вследствие чего C = O и a + ? = 0.
Второе из уравнений (II, 1,4) принимает теперь вид
е-«(\ _aV) = 1
или
гв ° = г -f С\
где С' —новая постоянная интегрирования. Имеем
+ €?— 1 +-у-. (П, 1.5)
Остается определить значение постоянной С'.
Рассмотрим поле на достаточно большом расстоянии от центра.
В главе 1 мы видели, что в случае слабого поля величина —^(g**—1) совпадает с ньютонианским потенциалом, т. е. в данном случае с величиной , где т —масса, выраженная в релятивистских единицах. Следовательно C = —2т, и формулы (II, 1,5) принимают вид
(11,1,6)
62 Таким образом, линейный элемент ds2 = — ^ 1 — ^J"1 dr2^ r2d&2- г2 sin2 0d(p2+ -^dt2 (II, 1,7)
представляет собой решение уравнений поля, удовлетворяющее условию сферической симметрии и обеспечивающее переход к квадра-тической форме (II, 1,2) на бесконечности. Это решение называется внешним решением Шварцшильда.
Как мы видели в главе I, уравнения поля Эйнштейна допускают простое обобщение путем введения так называемого космологического члена. Для пустого пространства обобщенные уравнения поля имеют вид
Я//-Aft7=O.
Умножая Hag'' и производя свертывание, находим соотношение между инвариантом тензора Риччи и космологической постоянной R = 4А. Поэтому уравнения поля для пустоты можно написать в форме
Rii-Agii- (II, 1,8)
Сохраняя условие сферической симметрии и пользуясь приведенными выше выражениями для компонент тензора Риччи, имеем в данном случае вместо (II, 1,4) следующую систему уравнений
jT-ajT+ = +т<Р'I = -Ar2
Ц'Р' , ?'2___ _
г '
-AA (11,1,9)
Сравнение первого из этих уравнений с третьим дает, как и прежде,
= С,
где С — постоянная интегрирования. Второе уравнение принимает вид
е~~а(1 — га') = I-Ara и приводит к формуле
re~a = г — ± Ar3 + С',
где С' — новая постоянная. Итак, в данном случае
^(l + f-^Ar2)-1, ,P==c(l + f-lAr2). (11,1,10)
Вследствие малости космологической постоянной член ~ Ar2 при не
очень больших /-должен быть весьма мал. Поэтому функции (II, 1,10) существенно отличаются от (II, 1,6) лишь на достаточно большом
63 расстоянии от центра гравитации, тогда как вблизи центра они практически совпадают с (II, 1,6). Это даетС = I9C' = — 2т. Следовательно,
= e? = 1 — ^ — уAr2 (11,1,11)
и линейный элемент Шварцшильда принимает вид
ds2 = — (і 4 Ar2)~l dr2 — гЧ®2 — r2 sin2 0d(P2 +
+ (l Ar2Jd/2. (II, 1,12)
При m = 0 решение (II, 1,7) переходит в линейный элемент специальной теории относительности, показывая, что в отсутствие массы или на достаточно большом расстоянии от нее пространственно-временной континуум отвечает псевдоэвклидовой геометрии. Значения переменной г имеют нижнюю границу г = 2т, которую иногда называют гравитационным радиусом массы. В отличие от этого, обобщенное решение Шварцшильда (II, 1,12) во всех случаях несовместимо с псевдоэвклидовой геометрией, и переменная г имеет не только нижнюю, но и верхнюю границу, для которой, пренебрегая величиной порядка т\ГК, можно принять 1/ЗЛ-1.
