Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богородский А.Ф. -> "Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии" -> 14

Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.

Богородский А.Ф. Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии — Киев, 1962. — 197 c.
Скачать (прямая ссылка): uravneniepolyaeynshteyna1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 68 >> Следующая


значение

&Ґ1

і rtct rwiJ тла /»i?

=іф/а —la?//.

непосредственно вытекающее из закона (I, 4,13), получим после очень простых переделок

Я? p?pa , ca/а In I^j p? \

--FeT* + ^----ra?j.

Свернутый СИМВОЛ Кристоффеля Ta? находится очень легко. В самом деле, согласно определению

Г* = 1 ^v/agqV і dgVv а3 2 ^ [dxfi + ^a дху у

откуда

гР — 1 rr?Ydg?Y

С другой стороны, произведение ggflY представляет собой алгебраическое дополнение элемента g?Y в определителе Ig//|.

Поэтому на основании теоремы о дифференцировании определителей имеем

dg = ?Y ^Y дха ёё дха

и, следовательно,

p? д In V— g

Гаъ = ъ*

Дивергенция плотности тензора энергии-импульса принимает теперь вид

dFf_p?p®

Написав правую часть в развернутой форме

+ № S1

и убедившись в том, что первые два члена исчезают, получаем

Iti1

36

-JL FVv *й Заметив еще, что вследствие SaVg^y = o? имеет место равенство

8 дх< •

можем окончательно написать

дҐ* 1 P ^a3 п л

Введем далее систему величин tf, подчинив их дифференциальным уравнениям

Я? 1

Ї?-TF-|г С-".!б,

и требованию, чтобы каждая из них принимала нулевое значение в случае эвклидовой геометрии пространственно-временного континуума. Совокупность этих величин носит название плотности псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля. Комбинируя (I, 4,15—16), имеем соотношение

^a (F?+/?) = О, (1,4,17)

дха

которое является новой формой закона (I, 4,13).

Приложим (I, 4,17) к конечной системе тел, пренебрегая внешними полями и допуская, что на достаточно большом расстоянии от системы геометрия пространства—времени является эвклидовой.

Окружим рассматриваемую систему какой-либо замкнутой поверхностью и составим интеграл

P1 = JJj (F/ + $ dx4x4x\ (I, 4,18)

взятый по внутренней области. Изменение этого интеграла со временем характеризуется производной

dh dt

которую, в соответствии с (I, 4,17), можно представить в виде dP.

Г = Jjj ^ (F?+#) Л***«*.

d^r - - ЯIі+ « і;*<^s-- И И+ *[>V*.-

-W

О к2)

F?+/? dx4x2.

KD

Не занимаясь рассмотрением этого уравнения в общем случае, предположим, что построенная поверхность достаточно велика, вследствие чего все элементы ее расположены в областях, где пространственно-временной континуум имеет эвклидову геометрию.

37 Во всех точках поверхности величины F*, tf исчезают, и мы имеем соотношение

5-а /=1,...4, (1,4,19)

показывающее, что четыре величины Pi сохраняются в течение всего времени движения. Первые три из них, соответствующие і = 1, 2, 3, определяют количество движения системы, а последняя равна полной массе системы.

§ 5. Уравнения поля Эйнштейна

Согласно принципу эквивалентности геометрия пространственно-временного континуума в каждом конкретном случае должна быть выбрана таким образом, чтобы уравнения геодезической линии давали правильное описание движения в поле гравитации.

Для осуществления этого требования необходимо построить теоретическую зависимость между метрическим тензором, характеризующим геометрию пространства — времени, и распределением масс, которыми обусловлено данное поле гравитации. Как уже было указано, такая зависимость устанавливается в теории относительности в виде уравнений гравитационного поля.

Формулируем основные условия, которым должны удовлетворять уравнения поля.

Согласно принципу относительности форма уравнений поля не должна зависеть от выбора системы координат. Этому условию, называемому в дальнейшем для краткости условием A9 можно удовлетворить в том случае, если искать уравнения поля в тензорной форме, так как всякое тензорное равенство, установленное в одной системе координат, сохраняется при переходе к любой другой системе.

Геометрия риманова пространства вполне определяется соответствующим линейным элементом. В частности, пространственно-временной континуум, рассматриваемый как четырехмерная псевдо-риманова метрика с сигнатурой —2, однозначно характеризуется полем метрического тензора g?/. Распределение масс, отвечающее тому или другому полю гравитации, описывается тензором энергии-импульса Tij. Поэтому, в соответствии с релятивистским представлением о природе гравитации, мы можем потребовать, чтобы уравнения поля представляли соотношения, связывающие метрический тензор с тензором энергии-импульса (условие В).

Тензор энергии-импульса удовлетворяет, как мы видели, закону сохранения (I, 4,13). Форма уравнений поля должна находиться в согласии с этим законом (условие С).

Наконец, необходимо потребовать, чтобы релятивистская теория гравитации в предельном случае переходила в теорию тяготения Ньютона (условие D ). Это требование, имеющее первостепенное значение для согласования теории с результатами наблюдений,

38 можно формулировать следующим образом: уравнения поля гравитации вместе с уравнениями геодезической линии в первом приближении должны привести к закону движения Ньютона

(Pxt ди /ICb

7 (1'5Л)

и к уравнению Пуассона

Afy = — 4л?2д, (1,5,2)

связывающему потенциал U с плотностью гравитационных масс q. Последнее условие можно представить в еще более конкретной форме.
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 68 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed