Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
значение
&Ґ1
і rtct rwiJ тла /»i?
=іф/а —la?//.
непосредственно вытекающее из закона (I, 4,13), получим после очень простых переделок
Я? p?pa , ca/а In I^j p? \
--FeT* + ^----ra?j.
Свернутый СИМВОЛ Кристоффеля Ta? находится очень легко. В самом деле, согласно определению
Г* = 1 ^v/agqV і dgVv а3 2 ^ [dxfi + ^a дху у
откуда
гР — 1 rr?Ydg?Y
С другой стороны, произведение ggflY представляет собой алгебраическое дополнение элемента g?Y в определителе Ig//|.
Поэтому на основании теоремы о дифференцировании определителей имеем
dg = ?Y ^Y дха ёё дха
и, следовательно,
p? д In V— g
Гаъ = ъ*
Дивергенция плотности тензора энергии-импульса принимает теперь вид
dFf_p?p®
Написав правую часть в развернутой форме
+ № S1
и убедившись в том, что первые два члена исчезают, получаем
Iti1
36
-JL FVv *йЗаметив еще, что вследствие SaVg^y = o? имеет место равенство
8 дх< •
можем окончательно написать
дҐ* 1 P ^a3 п л
Введем далее систему величин tf, подчинив их дифференциальным уравнениям
Я? 1
Ї?-TF-|г С-".!б,
и требованию, чтобы каждая из них принимала нулевое значение в случае эвклидовой геометрии пространственно-временного континуума. Совокупность этих величин носит название плотности псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля. Комбинируя (I, 4,15—16), имеем соотношение
^a (F?+/?) = О, (1,4,17)
дха
которое является новой формой закона (I, 4,13).
Приложим (I, 4,17) к конечной системе тел, пренебрегая внешними полями и допуская, что на достаточно большом расстоянии от системы геометрия пространства—времени является эвклидовой.
Окружим рассматриваемую систему какой-либо замкнутой поверхностью и составим интеграл
P1 = JJj (F/ + $ dx4x4x\ (I, 4,18)
взятый по внутренней области. Изменение этого интеграла со временем характеризуется производной
dh dt
которую, в соответствии с (I, 4,17), можно представить в виде dP.
Г = Jjj ^ (F?+#) Л***«*.
d^r - - ЯIі+ « і;*<^s-- И И+ *[>V*.-
-W
О к2)
F?+/? dx4x2.
KD
Не занимаясь рассмотрением этого уравнения в общем случае, предположим, что построенная поверхность достаточно велика, вследствие чего все элементы ее расположены в областях, где пространственно-временной континуум имеет эвклидову геометрию.
37Во всех точках поверхности величины F*, tf исчезают, и мы имеем соотношение
5-а /=1,...4, (1,4,19)
показывающее, что четыре величины Pi сохраняются в течение всего времени движения. Первые три из них, соответствующие і = 1, 2, 3, определяют количество движения системы, а последняя равна полной массе системы.
§ 5. Уравнения поля Эйнштейна
Согласно принципу эквивалентности геометрия пространственно-временного континуума в каждом конкретном случае должна быть выбрана таким образом, чтобы уравнения геодезической линии давали правильное описание движения в поле гравитации.
Для осуществления этого требования необходимо построить теоретическую зависимость между метрическим тензором, характеризующим геометрию пространства — времени, и распределением масс, которыми обусловлено данное поле гравитации. Как уже было указано, такая зависимость устанавливается в теории относительности в виде уравнений гравитационного поля.
Формулируем основные условия, которым должны удовлетворять уравнения поля.
Согласно принципу относительности форма уравнений поля не должна зависеть от выбора системы координат. Этому условию, называемому в дальнейшем для краткости условием A9 можно удовлетворить в том случае, если искать уравнения поля в тензорной форме, так как всякое тензорное равенство, установленное в одной системе координат, сохраняется при переходе к любой другой системе.
Геометрия риманова пространства вполне определяется соответствующим линейным элементом. В частности, пространственно-временной континуум, рассматриваемый как четырехмерная псевдо-риманова метрика с сигнатурой —2, однозначно характеризуется полем метрического тензора g?/. Распределение масс, отвечающее тому или другому полю гравитации, описывается тензором энергии-импульса Tij. Поэтому, в соответствии с релятивистским представлением о природе гравитации, мы можем потребовать, чтобы уравнения поля представляли соотношения, связывающие метрический тензор с тензором энергии-импульса (условие В).
Тензор энергии-импульса удовлетворяет, как мы видели, закону сохранения (I, 4,13). Форма уравнений поля должна находиться в согласии с этим законом (условие С).
Наконец, необходимо потребовать, чтобы релятивистская теория гравитации в предельном случае переходила в теорию тяготения Ньютона (условие D ). Это требование, имеющее первостепенное значение для согласования теории с результатами наблюдений,
38можно формулировать следующим образом: уравнения поля гравитации вместе с уравнениями геодезической линии в первом приближении должны привести к закону движения Ньютона
(Pxt ди /ICb
7 (1'5Л)
и к уравнению Пуассона
Afy = — 4л?2д, (1,5,2)
связывающему потенциал U с плотностью гравитационных масс q. Последнее условие можно представить в еще более конкретной форме.