Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
\dq> C2 c2
\ і і
57 На достаточно большом расстоянии от центра поля оно переходит в уравнение прямой
где C1 — совпадаете величиной перпендикуляра р, опущенного из центра на направление луча. Поэтому уравнение луча можно писать в виде
g + «= ^ (2- а) + \шпи*. (I, 6,26)
Решением этого уравнения является функция
"=пг + 1(2+а sin*ф)- {1,6,27)
Найдем значения полярного угла, соответствующие асимптотическим направлениям кривой (I, 6,27). Положив ср = + (90°+
+ а) и считая а достаточно малым, получим a = (2 + а). Поэтому угол между асимптотическими направлениями, т. е. величина отклонения луча в поле тяготения равна
2а = 6 = -^-(2 + а). (1,6,28)
Остается рассмотреть третий эффект—гравитационное смещение спектральных линий.
Пусть источник излучения и наблюдатель покоятся в заданном статическом поле тяготения. Как будет показано в главе IV, гравитационное изменение длины волны б І определяется формулой
= (1,6,29)
Л \ ?44, і /
где g44.b ?44,2 — значения последней компоненты метрического тензора в точках излучения и наблюдения соответственно.
Внося g44 ^? согласно (I, 6,15) и ограничиваясь членом первого порядка относительно , получим
= JL ^fL, (1,6,30)
Л, г, гг
Этот эффект не зависит от формы уравнений поля и определяется условием перехода к механике Ньютона (условием D).
Итак, мы видим, что для эмпирического обоснования уравнений поля можно использовать только два следствия общей теории относительности: эффект движения перигелия невозмущенной планетной орбиты и вывод об искривлении световых лучей вблизи массивного тела. Формулы (I, 6,25) и (I, 6,28), дающие количественное
58 выражение этих эффектов, содержат два из трех неопределенных коэффициентов в функциях (1,6,15), описывающих центральное поле гравитации с точностью до членов второго порядка. Согласно решению Шварцшильда уравнениям поля Эйнштейна отвечают значения а = 2, Ь == 4, с = 0, при которых указанные два эффекта выражаются формулами
а 6 Jtm ~ 4т А (О =э-, 6 = —.
P P
Если принять, что наблюдения подтверждают эти результаты с достаточной уверенностью (см. ниже), то получится а = 2, с — О, тогда как коэффициент b, определяющий член второго порядка в первой из функций (I, 6,15), останется неопределенным.
Таким образом, приходится признать, что данные астрономических наблюдений не позволяют однозначно определить форму уравнений поля во втором приближении даже для простейшего частного случая, каким является статическое поле одного центра. Можно ожидать, что уравнения поля, существенно отличающиеся от уравнений Эйнштейна уже во втором приближении, могут привести к тем же количественным оценкам трех основных релятивистских эффектов.
В заключение заметим, что в одной из последних работ [411 Эйнштейн вновь возвращается к вопросу обоснования уравнений поля гравитации и обсуждает его с точки зрения принципа «жесткости» системы уравнений. Этот принцип, имеющий по мнению Эйнштейна всеобщую применимость к физическим теориям, состоит в требовании выбирать систему уравнений таким образом, чтобы характеристики поля определялись ею как можно более жестко. Однако принцип жесткости и развитая Эйнштейном методика его применения представляют главным образом математический интерес и едва ли могут служить удовлетворительным обоснованием конкретных физических законов. Глава II
НЕКОТОРЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ § 1. Поле одного центра
Для астрономических следствий теории относительности, поддающихся в настоящее время проверке путем сравнения с данными наблюдений, основное значение имеет решение уравнений поля, удовлетворяющее условию сферической симметрии. Приближенное интегрирование уравнений поля для этого случая впервые выполнено в классической работе Эйнштейна о движении перигелия Меркурия [52]. Несколько позднее Шварцшильд [53] получил первое точное решение уравнений поля, исследованное затем Гильбертом [54], Биркгофом [55], JIaye [56] и другими авторами. В той или иной форме это решение приводится в настоящее время почти во всех руководствах по теории относительности, вследствие чего мы воспроизведем его здесь лишь схематически.
Для пустого пространства, во всех точках которого компоненты тензора энергии-импульса тождественно равны нулю, уравнения поля Эйнштейна принимают вид
/?// = О, (II, 1,1)
так как инвариант тензора Риччи исчезает вместе с Т.
Пусть поле гравитации, предполагаемое статическим, обусловлено материальной точкой или протяженным телом со сферическим распределением массы. Задача состоит в отыскании внешнего решения уравнений (II, 1,1), удовлетворяющего условию сферической симметрии и приводящего на бесконечности к линейному элементу специальной теории относительности.
В отсутствие поля тяготения линейный элемент пространственно-временного континуума в сферических координатах имеет вид
ds2 = — dr2 — r2dQ2 — г2 sin2 вгіф2 + dt2. (11,1,2)
Точечная масса, помещенная в начале координат, изменяет линейный элемент, не нарушая его сферической симметрии. Руководствуясь соображениями симметрии, можно написать
