Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
-^f(HiiV=Irgia) бЛт.
Первый член правой части представляет собой сумму четырех интегралов, каждый из которых допускает интегрирование по одной из координат. Эти интегралы исчезают вследствие условия бл** = 0 на границе области интегрирования. Уравнение (I, 6,12) принимает поэтому вид
j{V^ggW bx'dx = 0
и вследствие независимости вариаций координат переходит в систему четырех равенств
4* 51 йли, если ввести смешанные компоненты гамильтоновой производной,
Д (Н? v~g) - 1 Ha* = 0. (I, 6,13)
дхи z дх1
Согласно определению ковариантной расходимости тензора второго порядка, имеем
н* а = ~ + F^3//? — Г?а# ?.
Если внести сюда
p? _ 1 dV-g
a*~~V—g дх-
и перейти в последнем члене от смешанных к контравариантным компонентам, то получится
дхи У —g дха
Напишем символ Кристоффеля в развернутой форме и примем затем во внимание, что суммы
^a? dSjq дха 9 дхї 9
отличающиеся лишь обозначением немых индексов, совпадают, вследствие чего последний член в выражении расходимости приводится к виду
J_ rra? ^a? 2 aJ *
2 дх1 Мы можем теперь написать
- F=? {г(Н? Ш ¦
Сравнивая это выражение для ковариантной расходимости тензора Hii с уравнением (I, 6,13), находим Hfta =0.
Таким образом, гамильтонова производная от инварианта, образованного из компонент метрического тензора и их производных по координатам, имеет исчезающую ковариантную расходимость. Благодаря этому свойству она является одним из решений уравнения (I, 6,1).
Легко понять, что при помощи метрического тензора и его производных можно построить большое число различных инвариантов. Вследствие этого понятие гамильтоновой производной позволяет найти многочисленный класс решений уравнения (I, 6,1). К этому
52 классу принадлежит, в частности, решение Эйнштейна, так как тензор — /?''+ \gliR является гамильтоновой производной от
инварианта тензора Риччи.
Итак, мы видим, что существуют многочисленные решения уравнения (I, 6,1).
Для завершения формального доказательства неопределенности уравнений поля с точки зрения условий А — D остается сделать лйшь несколько замечаний.
Пусть Хц — какой-либо симметричный тензор с исчезающей ковариантной расходимостью, отличный от тензора Эйнштейна. Применяя многократно употреблявшееся разложение ga = 8tJ- + + А//» удобное в случае слабого поля, будем считать, что при переходе к первому приближению тензор Хц исчезает, так как если ОН содержит члены, линейные относительно величин hij или их производных по координатам, то его можно снабдить достаточно малым множителем.
Составим уравнение
Ru - YgaR + Хц = - KTif.
В первом приближении Xij- может быть опущен, а тензор Эйнштейна обеспечивает переход к уравнению Пуассона. Таким образом, отказываясь от дополнительного условия Эйнштейна, мы приходим к заключению о том, что в более высоких приближениях, начиная со второго, уравнения поля содержат неизбежный произвол. Условия А — D не позволяют выбрать уравнения поля однозначно или установить какое-либо преимущество уравнений Эйнштейна по сравнению с другой возможной формой этих уравнений. Иными словами, приходится признать, что физические предпосылки теории относительности дают возможность разработать общий метод описания и интерпретации движений в поле гравитации, но сами по себе эти предпосылки не представляют достаточной основы для развития однозначной количественной теории движений в поле тяготения.
Учитывая теоретическую неопределенность уравнений поля, уместно обсудить вопрос о возможности эмпирического обоснования уравнений Эйнштейна путем сравнения выводов теории с наблюдаемыми релятивистскими эффектами. Следует иметь в виду, что такое сравнение относится лишь к первому и второму приближениям и совершенно не затрагивает более высокие приближения, а тем более точную форму уравнений поля. При этом и второе приближение может быть подвергнуто эмпирической проверке только частично, поскольку число наблюдаемых релятивистских эффектов в поле тяготения до сих пор остается крайне ограниченным.
Рассмотрим вопрос подробнее.
Как известно, общая теория относительности приводит к трем основным следствиям, допускающим в настоящее время проверку
53 путем астрономических наблюдений. Одним из них является вывод о вековом перемещении перигелия невозмущенной планетной орбиты, а два другие определяют оптические эффекты общей теории относительности: искривление световых лучей вблизи Солнца и гравитационное смещение спектральных линий. Подробное изучение релятивистских эффектов производится в следующих главах. Здесь же мы рассмотрим эти эффекты предварительно, лишь в той мере поскольку это необходимо для обсуждения вопроса об эмпирическом обосновании уравнений поля.
Как мы увидим в следующей главе, поле одного центра в сферических координатах можно задать при помощи линейного элемента вида
ds2 = — Odr2 — r2dQ2 — г2 sin2 Ш<р2 + ?d/2, (1,6,14)
где а, ? — функции переменной г, определяемые путем решения уравнений поля.
Если потребовать, чтобы эти функции отвечали уравнениям поля Эйнштейна и при г оо приводились к единице, то согласно решению Шварцшильда (см. гл. II) получится
