Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богородский А.Ф. -> "Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии" -> 25

Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.

Богородский А.Ф. Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии — Киев, 1962. — 197 c.
Скачать (прямая ссылка): uravneniepolyaeynshteyna1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 68 >> Следующая


Как было показано в главе I, при сделанных предположениях уравнения поля можно привести к виду

Уравнения (II, 4,1) допускают интегрирование методом запаздывающих потенциалов, который и приводит к решению Эйнштейна

Эта формула определяет систему величин кц для каждой пространственно-временной точки Xj у, zt t. Интегрирование в правой части производится по всему пространству. При этом

а через \Tij\t-r* обозначены значения компонент тензора энергии-импульса в точке х\ у\ z', взятые для момента t —г'.

Приложим решение (II, 4,2) к случаю, когда поле гравитации обусловлено системой тел с собственными массами ms и объемами Qs, движущихся по заданным законам. Обозначим координаты цент-

(11,4,1)

где



hu - Y M = - 4 Jr^l T*l \t_/*'dy'dz'. (II, 4,2)

Г'2 = (Х- x'f + {у- Уу + (г- Z')2,

72 ров масс через as (Z)t bs (t), cs (f) и введем систему функций as = = as(jt —as, у — bs, z —cs), каждую из которых определим таким образом, чтобы

^ QsAxdydz = 1,

Ч

и чтобы значение ее отличалось от нуля лишь внутри соответствующей области Qs, исчезая вне этой области.

Произведения msas представляют собой плотности тел системы, а величина a = 2msas является плотностью в данной пространственной точке. Легко заметить, что в любой внешней точке функция о равна нулю, а в точках, принадлежащих одному из тел системы, совпадает с плотностью последнего. Пусть для краткости ог = = os(x' —as, у' —b?, Zt —cs). Если принять обозначение

Vs= dx'dy'dz',

где интегрирование производится по всему пространству, то произведение msUs даст потенциал поля массы ms в точке х , у, z, а U = = 4ZmsUs — потенциал поля всей системы тел в той же точке.

Для компонент тензора энергии-импульса в решении (II, 4,2) можно принять значения

Tu = S msasas, Г24 = ? msbsos, Г34 = ? mscsas,

Tu = S "!А. = 0» * * 4> I * 4, (И, 4,3)

которые, как не трудно убедиться, удовлетворяют закону сохранения = 0.

Потенциалы и их производные по пространственным координатам условимся считать величинами первого порядка малости. В соответствии с этим, принимая, что движение тел системы происходит без участия внешних сил и обусловлено только гравитационным взаимодействием между ними, припишем компонентам скоростей

as, bs, cs порядок -І-, а компонентам ускорений —первый порядок.

Решение Эйнштейна позволяет легко найти диагональные элементы hu с точностью до членов первого порядка и смешанные hu — с точностью до членов порядка у включительно. Элементы Hii при различных /, j Ф 4 содержат члены, начиная со второго порядка; в данном приближении мы условимся их опускать. Внося (II, 4,3) в решение (II, 4,2), имеем

hu = - 1-А = - 2U A14 = 4 2 rnbcisUs, A24 = 4 ? tnsbsUs, A34 = Ц mscsUs. (II, 4,4)

73 § 5. Решение уравнения поля для системы точечных масс

В этом и в трех следующих параграфах приводится решение уравнений поля для системы точечных масс с точностью до членов второго порядка относительно ньютонианского потенциала [59].

Пусть система состоит из материальных точек с заданными массами ms, движущихся по законам

as = CLs (0. bs = bs (0, = с, (t)

которые мы оставим пока неопределенными.

Вместо дискретного распределения массы, отвечающего данной системе, будем рассматривать некоторое непрерывное распределение по всему пространству, выбранное таким образом, чтобы при помощи соответствующего предельного перехода это распределение превращалось в систему точечных масс. С этой целью введем функцию а = а(аД) непрерывную и неотрицательную для всех а в интервале 0,оо и имеющую наибольшее значение при а = 0. Не определяя конкретной формы этой функции, подчиним ее следующим трем условиям:

1) при а = 0 Iima= оо;

к -* OO

2) при а Ф О Iim а = 0;

Л-оо оо

3) при любом X 4я I* а2а (а, X) da = 1.

о

Задание функции а, удовлетворяющей перечисленным требованиям, можно произвести различными способами; в частности, можно, например, принять

Введем далее обозначение

rj = (*- as)2 +-(у-bsf (z cs)2 и положим для краткости a(rs, К) = as. В таком случае функция

Q = SmsOs, (Н,5,1)

называемая в дальнейшем плотностью, при конечном X непрерывна во всех точках, а при X оо дает дискретное распределение, соответствующее системе материальных точек с координатами as ,bs, cs и массами ms.

Пользуясь определением (11,5,1), составим приближенное решение уравнений поля при непрерывном распределении массы по всему пространству и положив затем X -^oo, получим искомое решение для системы материальных точек.

74 Если ввести обозначение

гл = (X - х'У + (у - у')* + (г- г')2. Г;2 = (xf - а,)2 + (у' - bsf + (zf - cs)2, Os = O (r's, X)

и принять

+ OO

Us = JJ ^dx'dy'dz', (11,5,2)

— OO

то ньютонианский потенциал масс с плотностью (II, 5,1) выразится формулой

U = ZmsUs. (11,5,3)

Величину (II, 5,2) можно рассматривать как потенциал поля, обусловленного сферическим распределением массы с плотностью о (rs Д), в точке, расположенной на расстоянии rs от центра. По отношению к массе, заключенной внутри сферы радиуса rs, эта точка является внешней, тогда как по отношению к массе, распределенной вне указанной сферы, —внутренней. Первая масса создает в этой точке потенциал
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 68 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed