Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Л 2ra\-l ft 2т
где т — масса центрального тела в релятивистских единицах. С точностью до членов второго порядка можно написать
, . am . bm2 o , 2т , cm2 п а . -ч
a=l + — + -р-. ?=l— — + 7Г» (1,6,15)
имея в виду, что решению Шварцшильда соответствуют значения а = 2, Ь = 4, с = 0. Член первого порядка в выражении ? определяется, как было показано в предыдущем параграфе, условием D, т. е. переходом к механике Ньютона.
Оставляя коэффициенты а, 6, с неопределенными, составим формулы для количественной оценки основных релятивистских эффектов.
Рассмотрим движение в поле (I, 6,14). Воспользуемся уравнениями геодезической линии в форме (I, 2,16); их можно привести к виду
d f Sao dx°\ 1 ^SaafdxaV п , 9 . /т
^(^^)-^^(^)=0' "=1'2'3 (1'6'16)
Положим Xі, Xі, xz = г, в, ф и найдем первые интегралы уравнений движения. Последнее уравнение системы (I, 6,16), соответствующее ст = 3, непосредственно дает
= c^ (I 6 17)
(u ^sin2q' o1i/;
54 где C1 — постоянная интегрирования. Положив затем а = 2, имеем
d і г2 dB\ г2 . ~ Qk dV 2
dt
j Г* dv\ Г* . ~ а Аф 2
(уж) р sin0cose^J
Если внести сюда значение производной ^-из (I, 6,17) и затем ум-Ъ* dB
ножить на-?" -jf» то это уравнение легко интегрируется и дает
(dBy_ ?2 In q \
\dt ] /4 ^ 2 Sin2BJ9
где C2 — новая постоянная интегрирования. Приняв плоскость движения в какой-либо момент времени за плоскость в = j-, нетрудно показать, что движение частицы является плоским и поэтому вообще 0 = Y •
Первый интеграл уравнения а = 1 найдем из линейного элемента (I, 6,14), воспользовавшись уже полученными интегралами, а также последним из уравнений геодезической линии в форме (1,2,15).
Для временной координаты (I, 2,15) дает
(Pt , P4 dxa dx* Л JgT + 1 a? -g- -jg- ==5 о.
Принимая во внимание определение символов Кристоффеля, легко показать, что в нашем случае это уравнение приводится к виду
(Pt , 1 ^a4 dxa dx$
или
и дает
___L-J_____ __ = и
ds2 ^?44 Qjfi ds ds и
(Pt V #44 Л _ П
^44 2s* ' ~2s~ ds"
-I-=f. a. 6,18)
где ft — постоянная интегрирования.
Разделив линейный элемент (I, 6,14) на dt2 и внеся в него полученные первые интегралы, находим
Z*1-!-^ ?2 /Tfi im
(dt) (1,6,19)
55 Для составления уравнения орбиты достаточно разделить (I, 6,19) на возведенное в квадрат (I, 6,17); введя обозначение и = 1
я уf получим
du \2 1 U2 1
[Wl ~~
qa? a cfA2a'
Внесем сюда (1, 6,15), сохраняя члены двух первых порядков относительно т, получим
і du 2 , 9 Л2 — 1 т . а \
Ы)
+ ати3 — m2 (а2 - &) w4. (I, 6,20)
На достаточно больших расстояниях от центра поля все члены правой части будут пренебрежимо малы, и уравнение (I, 6,20) совпадет с уравнением ньютонианской орбиты
(du ,2|0 2 с2 — 1 Л
где р и е — фокальный параметр и эксцентриситет. Cp авнен ие коэффи циентов
/г2— 1 е2—\
CVi2
mI о . а \ 2
дает
2 +
cJ =- flm . А2 =-To-^;- (1.6,21)
2 + (е2_1)^ 2 — (е2 — 1) QzzUHlU
P P
Пользуясь этими соотношениями и сохраняя только первую сте-
т „
пень отношения —, получим с достаточной для наших целей точностью
(du ? X 9 - 1 т /Л О N 9 I Ч
К— +и2----2 == — (4 г- 2а — с) и2 + ати3
/ ' р P2 Pk 71
или, если выполнить дифференцирование по ф и произвести сокращение,
^ + a - ! = (4 - 2а - с)« +4 ШША (I, 6,22)
Этим уравнением и определяется орбита частицы в центральном поле (I, 6,15). На достаточно больших расстояниях от центра малые члены, расположенные в правой части равенства, будут прене-
56 брежимо малы, и уравнение (I, 6,22) переходит в уравнение орбиты механики Ньютона
(Pit % 1 Л
-п-2+ и--= 0,
d<pa 1 р
_ 1 . е
решением которого является коническое сечение и — + C0S(P
с фокальным параметром р и эксцентриситетом е. Решение уравнения (I, 6,22) имеет вид
w = -^-+-^cosq)+y4 + jb соб2ф+ -у йф sin <p, (1,6,23)
где A1 В, к—малые первого порядка относительно Прямая подстановка дает
k = + А = ^{Ъ-а-2с+2аё*),
B = -^- (1,6,24)
С помощью очевидного соотношения COS ф + fop sin ф = COS (ф — &ф), выполняющегося с точностью до членов первого порядка относительно k, (I, 6,23) можно привести к виду
г==_Pl_
1 + e'cos(<p — Акр) '
где
P IlntAlR пглс 2 т\* е
\+р(А + Bcos2(P)' * 1 + P (A + Bcos2V) '
В случае периодического движения это уравнение представляет эллипс, параметр и эксцентриситет которого испытывают мелкие периодические изменения, а ось апсид медленно вращается в плоскости орбиты в прямом направлении. За время одного обращения долгота перигелия возрастает на величину
До» = 2nk = ™ (4 + а — с). (I, 6,25)
Вторым эффектом общей теории относительности является искривление светового луча вблизи Солнца. Для количественной оценки эффекта воспользуемся общим уравнением (I, 6,20), в котором необходимо положить h = оо, поскольку распространение света характеризуется в теории относительности условием ds = 0.
Уравнение луча с точностью до членов первого порядка относительно т имеет вид
(2 + „2 _ 1 = Ju_{2 _ а) и + а/ш»
