Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть в какой-либо точке континуума заданы четыре линейные элемента, компоненты которых соответственно равны (I1X?, ...d^x*1. В дифференциальной геометрии римановых пространств дается следующее выражение для объема, построенного на этих элементах
dV = Eapybd1XaCl2Xfid3XVdiX6. (I, 6,2)
Легко видеть, что элемент объема (I, 6,2) является инвариантом, так как он представляет собой результат полного свертывания произведения ко- и контравариантных тензоров. Для упрощения положим, что каждый из четырех линейных элементов, образующих рассматриваемый объем, направлен по одной из координатных линий, т. е.
d\Xa = dx\ 0, 0, 0 ... dbX* = 0, 0, 0, dx4. Тогда (I, 6,2) примет вид
dV = eU3Adx*dx4x*dx* = VzrSdx, (I, 6,3)
48 где через dx обозначено произведение четырех дифференциалов координат. Этим выражением элемента объема мы и будем пользоваться в дальнейшем. Пусть / — инвариант, построенный при помощи компонент метрического тензора и их производных
__ дёц _ d2Su
SiiO--^T' ""
Образуем произведение lY—gdx и составим интеграл
W~gdx. (1,6,4)
взятый по какой-либо определенной четырехмерной области. Величина его является инвариантом и не зависит от выбора координат.
Не изменяя метрический тензор на границе области интегрирования, произведем теперь небольшое преобразование координат, в результате которого компоненты метрического тензора и их производные в каждой внутренней точке области получат прирощення
bgib bgiia =¦- ~ б gih bgijafi = bgih ••• > (I. 6,5)
в то время как величина интеграла (I, 6,4) сохранит прежнее значение. Таким образом мы получим
... =0. (1,6,6)
Принимая во внимание очевидное соотношение
^^^ = ? (V~g Wa ^ - Ь iV~8 W) O8U'
второй интеграл в (I, 6,6) можно написать в виде
Первый член этого выражения представляет собой сумму четырех интегралов, соответствующих а = 1, ... 4. Каждый из них допускает непосредственное интегрирование по одной из координат и исчезает вследствие условия бg?j= О на границе. Поэтому написанное выше выражение сводится к одному лишь второму члену. Аналогичным образом, пользуясь соотношением вида
a"? = (aP)" + a?* — 2 (a?')',
можно преобразовать второй интеграл в уравнении (I, 6,6), а затем и последующие.
В результате подобных преобразований получим
4 735 49 Легко видеть, что вследствие инвариантности интеграла (I, 6,4) совокупность величин
и
представляет собой контравариантный тензор второго порядка. Этот тензор называют гамильтоновой производной от инварианта / по метрическому тензору. Во всех случаях гамильтонову производную можно считать симметричным тензором. В самом деле, если эта производная не является симметричным тензором, то её можно представить в виде суммы симметричной HiI и антисимметричной Hii частей, и тогда уравнение (I, 6,7) перейдет в следующее
J (Hii + Hii) V—gbgiidx^Q.
Однако сумма HiIbgii тождественно равна нулю ввиду симметричности тензора бgif\ поэтому
J Hii У—Ц bgijdx = 0, (1,6,9)
что и доказывает правильность сделанного утверждения о симметричности гамильтоновой производной.
Рассмотрим важное свойство гамильтоновой производной. Пусть новые координаты, переход к которым вызывает приращения bgu-t Sgifa,--, будут Xа + 6*«. Согласно закону преобразования тензора имеем
А/ - to + 4*4 ^?^• (1.6,10)
Величина bgij, определяемая этим равенством, представляет собой разность между компонентами метрического тензора в точках х? + + Sjca и xf1 новой и старой систем координат соответственно. Однако эта величина отличается от вариации Sgil- в (I, 6,9); последняя равна разности между новыми и старыми значениями компонент метрического тензора в точке хЯ, так как при варьировании интеграла (I, 6,4) мы оставляли dx неизменным.
В величину oga? в (I, 6,10) необходимо внести поправку
--^ojcy, соответствующую переходу из точки Xа + Ьха к точке Xа.
дху
Таким образом, для вариаций Sgil- в уравнении (I, 6,9) мы имеем следующую систему равенства
/ і * , Y\d(*a + ojca)d(jcp-t-ojc?)
*</ = [ы + ta» + ^v) -l^j ^r1 ¦
50 Сохраняя лишь члены первого порядка относительно малых вариаций, можно написать
^ fdxa dx? . дха dox? , dx?doxa\ ,
ft/ = *«*Г) +
+ (Og-o?+g-a?vO^^^.
Внеся в эти равенства — = б?, , получим после очевидных упросит
щений
*gif = ~ + a, 6,11)
Этим выражением вариации мы и воспользуемся для дальнейшего преобразования равенства (I, 6,9). Предварительно заметим, что вариации компонент метрического тензора в (I, 6,9), возникшие в результате преобразования координат, нельзя, конечно, считать независимыми. Независимыми являются лишь вариации координат, т. е. величины бха. Имея это в виду, мы внесем (I, 6,11) в (I, 6,9) и произведем затем преобразование с целью исключения всех зависимых вариаций. Подстановка дает
J Hii V=^gii*bx« + 2 J Hii V~g gia ^dt = O, (I, 6,12)
так как вследствие симметричности гамильтоновой производной
выражение Hligia^[-ne зависит от порядка индексов /. С дру-дх1
гой стороны, имеем
{я" V=gg* ^dT - JA (//« V^ggbMdt -
