Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим случай слабого поля, когда геометрия простран-ственно-временного континуума мало отличается от эвклидовой. Для компонент метрического тензора примем
gii = 0,7 + hih (I, 5,3)
где через 6,/ обозначены коэффициенты линейного элемента специальной теории относительности, т. е.
-і ; = /= і, 2, г
Ьи = + 1 / = І = 4 О і Ф ],
а через hij — малые величины, характеризующие уклонение пространства—времени от эвклидовой метрики. Будем удерживать члены, линейные относительно величин hij и их производных, опуская члены более высоких порядков. Пользуясь релятивистской системой единиц, в которой механические скорости измеряются долями скорости света, будем также опускать произведения величин ha и их производных на компоненты скоростей. В этом приближении уравнения геодезической линии можно написать в виде
сРх° _ го dt2 44"
Согласно определению символов Кристоффеля с принятой степенью точности имеем
Г0 _ I d/*44 dhAO 144 - 2 dt '
В случае статического поля компоненты метрического тензора являются функциями координат и не зависят от времени, вследствие чего второй член в выражении для TJr тождественно равен нулю. Если поле является переменным, то зависимость его от времени обусловлена перемещением гравитационных масс, так как случай, когда изменяются величины масс, не имеет в данном приближении существенного значения. Иными словами, время может входить в выражение Л4/- не непосредственно, но лишь через
.39 координаты гравитационных масс и их производные. Отсюда следует, что в рассматриваемом приближении второй член в выражении Г44 должен быть опущен и для переменного поля. Итак,
Г° — I^il 44 ~ 2 &
и уравнения геодезической линии приводятся к виду
ІPxa dt2
совпадая с законом движения Ньютона, если величину —^g44
отождествить (с точностью до аддитивной постоянной) с гравита-цион ным потен ци алом.
Таким образом мы приходим к следующей формулировке условия D: в случае достаточно слабого поля гравитационные уравнения при соответствующем выборе координат должны приводить к уравнению Пуассона относительно последней из компонент метрического тензора.
Условиям А—С отвечает любое ковариантное уравнение вида
Xii = - KTih (I, 5,4)
где X — произвольная постоянная, Xij- — симметричный тензор второго порядка, составленный при помощи метрического тензора gij и удовлетворяющий условию Xfla = 0. Тензор Xij должен быть выбран таким образом, чтобы уравнение (I, 5,4) отвечало также условию D. Введенный в § 3 тензор Эйнштейна
EU = RU-YSUr
вполне определяется метрическим тензором и имеет, как мы видели, исчезающую ковариантную расходимость. Поэтому для отождествления тензора Хц в (1, 5,4) с тензором Эйнштейна достаточно показать, что последний обеспечивает переход к уравнению Пуассона.
Примем для компонент метрического тензора разложение (I, 5,3) и найдем приближенное выражение тензора Риччи, сохраняя только члены, линейные относительно величин hij и их производных. В этом приближении имеем
_ дЦ *bV=t
Hi'--^T + дх'дх1 ' (1'
так как остальные члены в (I, 2,21) имеют второй порядок. Символы Кристоффеля с той же степенью точности равны
га _ -L fiaa !dhia , dhja \ .. _ ..
Г'7-2б ^r +-^r --^y (1,5,6)
Вычислив фундаментальный определитель
1-А, (1,5,7)
40 где
А = бa?/*au = — АЦ - /Z23 — A33 + A44,
легко находим
дЧпУ^у ^ 1 d*h (І 58)
OxiOxi 2 дхідхі •
Внося значения (I, 5,6,8) в (I, 5,5) и выполнив необходимую перегруппировку членов, получаем
(I, 5,9)
д I 1 dh саа dhai
, U I 1 UU Cl
+ дха
д*
где через ? обозначен оператор—Д + ^r- Для упрощения компонент тензора Риччи (I, 5,9) произведем теперь малое преобразование координат. Пусть 1а(х19 ... х4) —система четырех функций, каждая из которых имеет порядок величин A1-/ и удовлетворяет необходимым аналитическим условиям, но остается пока неопределенной.
Введем новые координаты .Vа' при помощи соотношений
Компоненты gi'i> метрического тензора в новой системе определяются формулами
дха дх*
которые дают
или
. й" , d? Sir^gil-Ki ^r-^17
Hii = h,r + Ьи ^r +б» fr • (1.5,10)
Дифференцируя последнее равенство по х> и положив затем / = а, умножим его на Ь"а. После свертывания находим
6°° fk = ьаа d^ + oMo„ MLmJL^L. л 5, і и
дха дха Т " дха' т дх- дха V '
Умножая (1,5,10) на б'' и выполняя полное свертывание, имеем
A = A'+ 2
дх
41 откуда
1 ал _ 1 дк' д дґ* п . 19
~ 2 дх1' +а*'" дх*' (* 11
Комбинируя (1,5, 11—12), получим
1 dh «>аа ^ia 1 d/t' Aaa ^Va' * ,—, ft / т с і о\
T^r-6 ^ = Ti/"6 (1,5ЛЗ)
Четыре функции Iі оставались до сих пор неопределенными. Подчиним их теперь соотношениям
(1,5,14)
которые представляют собой систему уравнений Даламбера и не противоречат условию о порядке функций Iі. Выполнимость подобного выбора функций Iі вытекает из возможности интегрирования уравнений (1,5,14) (например, rto методу запаздывающих потенциалов). В новой системе координат имеет место соотношение
1 dh' Kaadha'i' _ п
2 дх? дх«'
