Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. вообще
(шг)м-ss1^iea
при всех значениях индексов /, j.
27 В то же время, согласно общей формуле (1, 3, 12), имеем
Следовательно, в точке Mt выполняется соотношение F// = П/.
Воспользовавшись формулами вида (I, 3,9) для коэффициентов gij и цц и принимая во внимание, что вдоль кривой компоненты метрических тензоров риманова и эвклидова пространств одинаковы, приходим к заключению, что вдоль кривой совпадают и значения первых производных от этих компонент по координатам.
Итак, мы видим, что существует возможность произвести такой выбор координат в пространстве Эвклида, при котором все g?j- и их первые производные по координатам в римановой и эвклидовой метриках имеют во всех точках данной кривой одинаковые значения. Эвклидова метрика соприкасается с римановой вдоль всей данной кривой. В бесконечно малой окрестности этой кривой эвклидова метрика представляет риманову с точностью до членов второго порядка.
Равенство инертной и тяжелой мпсс, выражающее независимость закона движения частицы в заданном поле гравитации от ее массы, вместе с понятием об оскулляции вдоль линии позволяет расширить обычную формулировку принципа эквивалентности, сделав его применимым к конечному движению.
Прежде всего заметим, что поля тяготения можно разделить на два типа. К первому из них относятся поля, которым отвечает эвклидова метрика пространственно-временного континуума. Движение частицы в полях этого типа происходит в отсутствие силы тяготения в ньютонианском смысле; как уже упоминалось, в до-релятивистской механике такие поля являются полями сил инерции.
Ко второму типу относятся поля более сложной структуры, которым отвечает риманова геометрия пространственно-временного континуума. Такие поля акад. В. А. Фок называет истинными в отличие от полей первого типа, которые «иммитируются» выбором системы отсчета. В механике Ньютона второму типу отвечают поля тяготения в собственном смысле.
Между полями указанных типов имеется существенное различие в граничных условиях. Потенциал «истинного» поля на бесконечности исчезает, тогда как потенциал «иммитированного» поля не удовлетворяет этому требованию и при переходе на бесконечность может неопределенно возрастать.
Пусть в произвольно заданном поле гравитации (т. е. в случае римановой метрики пространства —- времени) происходит движение свободной частицы. Из равенства инертной и тяжелой масс следует, что закон движения не зависит от массы частицы и определяется лишь начальными условиями. Пользуясь понятием об оскулляции вдоль линии, введем эвклидову метрику, соприкасающуюся с дан-
28 ной римановой метрикой вдоль всей четырехмерной траектории частицы. Отсюда и вытекает расширенная формулировка принципа эквивалентности: для любого однозначно определенного движения свободной частицы в заданном поле тяготения имеется возможность построить такую систему отсчета в эвклидовом пространстве—времени, в которой это движение происходит так же, как в поле гравитации первого типа (т. е. как в отсутствие «истинного» поля).
Линию оскулляции, рассматриваемую в качестве кривой в ри-мановом пространстве, обозначим для краткости через С, а в пространстве Эвклида — через С. Линию С называют в геометрии результатом развертывания или отображения кривой С на эвклидово пространство. Употребляя эту терминологию, можно сказать, что любой определенный закон движения частицы в поле гравитации можно развернуть на эвклидово пространство—время.
Допустим, что развертываемая кривая С является геодезической линией римановой метрики. Поскольку уравнения геодезической содержат лишь символы Кристоффеля, можно утверждать, что вследствие соотношения Г?/ = F//, выполняющегося вдоль всей линии оскулляции, отображенная кривая будет также геодезической. Иными словами, геодезическая линия риманова пространства развертывается на прямую эвклидова пространства. Легко видеть, что выполняется и обратное: линия, развертывающаяся на прямую, является геодезической.
Пользуясь этим заключением, можно получить важное следствие из приведенной формулировки принципа эквивалентности. Если движение в поле тяготения первого типа происходит по закону геодезической линии, то, не прибегая к уравнениям поля, можно утверждать, что и в заданном поле любой структуры движение свободной частицы отвечает этому закону. Таким образом, принцип геодезической линии является основным законом движения частицы в гравитационном поле, выводимым из общих сображений независимо от той или иной формы уравнений поля.
Следует отметить, что каждому конечному движению в заданном поле соответствует особая эвклидова метрика, позволяющая произвести развертывание закона движения. Варьируя начальные условия, необходимо также соответствующим образом изменить иоскул-лирующую эвклидову метрику. Поэтому расширенный принцип эквивалентности не позволяет, конечно, свести «истинное» поле в целом к «иммитированному». Вместе с тем, стремясь к общности теории, естественно предположить, что поля обоих типов имеют одинаковую физическую природу и отличаются лишь структурой. «Иммитированные» поля центробежных или кориолисовых сил по своей физической природе так же мало отличаются от «истинного) поля тяготения Солнца, как электростатическое поле плоского конденсатора от сферического поля заряженного шара.
