Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Основным аргументом в пользу этой точки зрения является, как уже сказано, локальный характер принципа эквивалентности, т. е. применимость его лишь к бесконечно малой окрестности какой-либо точки пространственно-временного континуума. Между тем общие свойства римановой метрики позволяют существенно расширить формулировку принципа эквивалентности и сделать ее применимой к конечному движению частицы в поле тяготения произвольного строения [44]. Математической предпосылкой такого расширения служит понятие о соприкосновении (оскулляции) римановой и эвклидовой метрик вдоль данной линии.
Поскольку в теории относительности понятие об оскулляции вдоль линии не применялось, мы приведем здесь его краткое обоснование, следуя в общем Картану [45].
Пусть в я-мерном пространстве Римана с коэффициентами gu основной квадратической формы и соответствующими им символами Кристоффеля Г^. дана линия, координаты текущей точки которой выражены в функции некоторого параметра и1 = и1 (/).
Введем пространство Эвклида того же числа измерений с компонентами метрического тензора qii% символами Кристоффеля Fa',/ и координатами Xі, которые оставим пока неопределенными. Уравнения Xі = Ui(t) представляют в этом пространстве непрерывную линию. Обозначив через г' радиус-вектор текущей точки Mr кривой и через e'i — координатные векторы в этой точке, составим систему дифференциальных уравнений
dr' = dt, de] = dt, (I, 3,7)
потребовав, чтобы при t = t0 векторы е'а при попарном внутреннем умножении давали gtj риманова пространства в точке и' = и1 (t0).
Система (I, 3,7) имеет единственное решение (с точностью до радиуса-вектора г'0 точки Ui (t0)); в частности, она однозначно определяет систему векторов є] в точках кривой. Легко убедиться в том, что при всех значениях t имеет место соотношение е'ле'J =Sgtj. Действительно, второе из (1,3,7) дает
dei ' pa du* <
Tte^i 1* ЧГ ЄаЄі'
Если произвести перестановку индексов / и сложить найденное при этом равенство с предыдущим, то получится дифференциальное уравнение
4 Ш = Г% (еае,) + Г% М, (I, 3,8)
которому удовлетворяет произведение координатных векторов в точках кривой при начальном условии (еV/)o С другой стороны, если в соотношение
dSq __dgu du* dt - dufi dt
внести равенство
^jf = ?а/Г?э -f gatr%, (1,3,9)
вытекающее из самого определения символов Кристоффеля, то получится дифференциальное уравнение
dSq ра du* , ра du* „ /т Q 1ПЧ
-д- = 1 i? -JT gai + Гуз -gг gat, (I, 3,10)
которому удовлетворяют коэффициенты gij в точках кривой при том же начальном условии. Поскольку уравнения (I, 3,8) и (I, 3,10)
ОДИНаКОВЫ И решеНИЯ ИХ еДИНСТВеННЫ, ДОЛЖНО быТЬ eie'f =gij.
Итак, во всех точках рассматриваемой кривой выполняется равенство gij =qip
Для упрощения последующих выкладок будем предполагать, что уравнения кривой имеют вид и1 = /, Ui = a = const при і = = 2,...л, т. е., что кривая является одной из координатных линий. Очевидно, что это условие не нарушает общности, так как оно может быть осуществлено путем соответствующего преобразования координат.
Вместо (I, 3,7) мы теперь имеем
її ssse^ (1, 3'1
где ґ и все е[ являются функциями ОДНОГО U1.
Напомним, что система координат в пространстве Эвклида остается еще неопределенной, поскольку для ее однозначного задания необходимо определить координатные вектора^ во всех точках пространства, тогда как до сих пор мы определили их лишь для точек кривой. Выбор координат можно произвести путем зада-
26 ния связи между радиусом-вектором г точки M4 пространства и ее координатами. Если положить г = г (х1 ...хп), то получится
Первые производные от радиуса-вектора по координатам дают систему координатных векторов в соответствующей точке, а их внутренние произведения определяют компоненты <7// метрического тензора. Производные второго порядка являются линейными комбинациями координатных векторов, причем коэффициентами при этих векторах служат символы Кристоффеля F*,/ данной эвклидовой метрики.
Выбор функции г (*1,... Xn) в нашем случае ограничен требованием, чтобы при,переходе от произвольной точки M пространства к точке Mf кривой вектора Ci превращались в уже заданные вектора e'i. Этот выбор мы произведем следующим образом.
Принадлежащую кривой точку AT с координатами и1, и1 = =^aiIi ф 1) и радиусом-вектором г' свяжем с точкой M, для координат которой положим: Xі = U11 Xі при /ф 1 вообще отлично от а'.
Пусть радиус-вектор г точки M определяется формулой
г - г' + і (X* - а") +1 T*xek (Xf0 - а") (*т - ах), (I, 3,13)
где со, т — индексы суммирования, принимающие значения 2, 3 ... л, а через Г// обозначены координатные векторы и символы Кристоффеля римановой метрики в точке M'.
Дифференцируя это равенство по координатам х1 = и1 и Xі и положив затем Xі = at9 получим
убедившись таким образом в том, что выбор системы координат при помощи (I, 3,13) находится в согласии с принятым ранее ограничением.
Вычисляя производные второго порядка и переходя затем от Af к M', найдем, учитывая (I, 3,11),
