Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Эта теорема, устанавливающая исчезновение ковариантной расходимости тензора Эйнштейна, имеет весьма важное значение в теории относительности.
Как уже было указано, исчезновение тензора Римана—Кристоффеля служит условием вырождения римановой геометрии в эвклидову. Простейшими формами римановых пространств, не отвечающих этому условию, являются пространства постоянной кривизны, в каждой точке которых кривизны одинаковы во всех направлениях. Таким образом, согласно определению, пространство постоянной кривизны изотропно во всех точках. При этом имеет место теорема Шура, утверждающая, что в римановом пространстве постоянной кривизны с числом измерений более двух кривизны одинаковы во всех точках. Иными словами, изотропное пространство является также однородным.
Для всех классов римановых пространств постоянной кривизны основную квадратичную форму можно привести к виду
где k — постоянная, называемая кривизной. При k = О эта форма переходит в линейный элемент пространства Эвклида в декардовых прямоугольных координатах. Эвклидово пространство является пространством Римана нулевой кривизны.
Если k < 0, то пространство характеризуется радиусом кривизны R = yzzj ' Геометрия такого пространства, называемого гиперболическим, впервые была построена Лобачевским.
eH = Ru — у SaRy
(I, 2,23)
(I, 2,24)
(I, 2,25)
20 При k > О имеем римаиово пространство постоянной положительной кривизны, называемое сферическим. Радиус кривизны
D 1
его определяется формулой к — —==¦ •
В предельном случае при R оо гиперболическое и сферическое пространства переходят в пространство Эвклида.
В теории кривизны доказывается, что для пространств постоянной кривизны тензор Римана—Кристоффеля имеет вид
% ki = k (gikgn - gngjk). (I, 2,26)
Если умножить (I, 2,26) на gn и произвести свертывание, то получится
Rik = -(*- 1) kgjk. (1,2,27)
При п > 3 эта формула представляет собой необходимое, но недостаточное условие постоянства кривизны, так как число существен-
п? (п2 — 1)
ных компонент тензора Римана—Кристоффеля, равное -yg->
п(п+ 1)
превышает число компонент тензора Риччи, равное--» вследствие чего обратный переход от (I, 2,27) к (I, 2,26) вообще невозможен. Однако при п — 3 число тех и других компонент равно шести и (I, 2,27) оказывается не только необходимым, но и достаточным условием пространства постоянной кривизны.
Приведенные в данном параграфе формулы римановой геометрии, выводимые для случая положительно определенной квадратичной формы, почти непосредственно переносятся в теорию относительности. В отдельных формулах необходимо лишь вместо g, писать —g, так как вследствие неопределенности квадратичной формы пространственно-временного континуума фундаментальный определитель имеет в теории относительности отрицательное значение.
§ 3. Принцип эквивалентности
Физической основой релятивистской теории гравитации является так называемый принцип эквивалентности, выражающий наиболее важную и общую из известных особенностей поля тяготения. Простейшая формулировка этого принципа сводится, как изьестно, к утверждению, что в достаточно малой области пространственно-временного континуума, отвечающего заданному полю гравитации, существует система отсчета, в которой движение частицы в указанной малой области происходит так же, как и в отсутствие поля гравитации. С физической точки зрения принцип эквивалентности выражает тот факт, что в каждой достаточно малой области все тела обладают в данном поле тяготения одинаковыми ускорениями. Эту фундаментальную особенность поля тяготения, отличающую последнее от других физических полей, принято называть равенством инертной и тяжелой масс.
21 Для однородного поля тяготения равенство инертной и тяжелой масс впервые нашло свое выражение в законе падения Галилея, подвергалось эмпирической проверке в опытах Ньютона с маятниками и получило в конце прошлого века надежное подтверждение в хорошо известных и тщательно выполненных исследованиях Эт-веша [42], а также в некоторых более поздних работах. В случае неоднородного поля это равенство подтверждается выводами небесной механики, в которой, как известно, не делают различия между инертной и тяжелой массами.
Не имея возможности входить в подробное обсуждение роли равенства инертной и тяжелой масс в задачах небесной механики, мы ограничимся здесь двумя простыми примерами.
Пусть Mt Mf и т, т' — инертные и тяжелые массы Солнца и планеты соответственно. Невозмущенное движение планеты относительно Солнца определяется уравнениями вида
*• і X ґ\ / лл , V m' Af'
Применяя третий закон Кеплера a3 : T*2= ц : 4я2 к двум планетам с большими полуосями орбит а, ах и периодами обращения Tt Tv получим
?=5-^('+*)(•+*)-• ft3-"
С достаточной для наших целей точностью можно пйсать
т' т[ CPT21
~т ' a^fz' (1.3,2)
Применяя это соотношение к планетам Меркурий — Марс и Уран — Марс, получаем 0,999 и 1,001 соответственно. Для Земли и Плутона формула (I, 3,2) дает около 0,9999.
Несколько более точную проверку равенства инертной и тяжелой масс можно произвести в случае Луны.
