Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Некоторое обобщение релятивистского закона тяготения получено в связи с попыткой Эйнштейна приложить уравнения поля к космологии [20]. Эта попытка, предпринятая в предположении статичности космического поля тяготения, привела к принципиальному затруднению, аналогичному затруднению ньютонианской теории гравитации,— так называемому парадоксу Зеелигера [21]. Эйнштейн дополняет уравнения поля «космологическим членом», позволяющим получить формально непротиворечивое решение, приводящее к концепции конечной вселенной сферического типа. Эта работа положила начало многочисленным и разнообразным исследованиям по релятивистской космологии.
В принципиальном отношении важным моментом последующего развития теории относительности явилось изучение вопроса о связи между уравнениями поля и законом движения. В основу концепции Эйнштейна, сложившейся в перечисленных работах, положена идея, согласно которой движение в поле тяготения происходит без участия силы в собственном смысле. Законом движения в поле гравитации является обобщенный закон инерции Галилея, принимающий форму принципа четырехмерной геодезической линии и показывающий, что движение в этом поле происходит с нулевым четырехмерным ускорением. Таким образом, предполагалось, что искомые уравнения поля будут совместимы с принципом геодезической линии. Впоследствии оказалось, что найденные Эйнштейном уравнения поля в общем случае этим свойством не обладают. Поскольку частицы вещества являются особыми точками (или особыми областями) метрического поля, естественно ожидать, как впервые указал еще Вейль [22], что вследствие нелинейности уравнений поля распределение этих точек не может быть задано произвольно. Иными словами, требование интегрируемости уравнений поля должно ограничивать движение частиц. Таким образом возникает возможность отказаться от самостоятельного закона движения, заданного независимо от уравнений поля, и выводить этот закон из уравнений поля. В совместной работе Эйнштейна и Громмера [23] и в последующей за нею статье Эйнштейна [24] устанавливается принципиальная возможность такого объединения закона движения с уравнениями поля. В 1938 году появилось обширное исследование Эйнштейна, Инфельда и Гофмана [25], в котором изучается приближенное решение уравнений поля для системы точечных масс.
8 В результате весьма сложных вычислений, подробности которых в опубликованной статье не приводятся, авторы показывают, что требование интегрируемости уравнений поля в рассмотренном ими приближении вполне определяет закон движения точечных масс в виде ньютонианских уравнений, снабженных соответствующими релятивистскими поправками. В фундаментальной работе акад. В. А. Фока [26] уравнения поля приложены к системе тел, имеющих конечные плотности и протяженности. Интегрирование уравнений поля выполнено в этой работе до членов второго порядка относительно ньютонианского потенциала. При этом оказалось, что условием интегрируемости служат ньютонианские уравнения движения для тел рассматриваемой системы. Ниже мы более подробно остановимся на этом важном вопросе.
После завершения релятивистской теории тяготения Эйнштейн и ряд других исследователей предпринимают попытки создания единой теории поля, перед которой ставится задача объяснения явлений гравитации и электромагнетизма с единой точки зрения. Не стремясь к сколько-нибудь систематическому обзору, мы укажем здесь лишь основные направления, в которых развивались эти попытки.
В нескольких статьях [27] Вейль развивает геометрию, представляющую собой некоторое обобщение геометрии Римана. В геометрии Вейля, наряду с метрическим тензором, существенную роль играет также метрический вектор, интерпретируемый как электромагнитный потенциал. При помощи этой геометрии Вейль разрабатывает теорию, в которой метрическая структура прост-ранственно-временного континуума дает одновременное описание гравитационного и электромагнитного полей. Идеи Вейля получили развитие в работе Эддингтона [28], который построил геометрию, основанную на понятии параллельного переноса. К этому направлению относится также один из вариантов единой теории поля Эйнштейна [29]. Позднее, признавая неудовлетворительность единых теорий поля в духе идей Вейля—Эддингтона, Эйнштейн предлагает новую теорию, отказываясь от условия симметрии метрического тензора [30]. В этой теории метрический тензор представляется в виде суммы симметричной и антисимметричной составляющих, отвечающих гравитационному и электромагнитному полям соответственно.
Другое направление открывает исследование Калуза [31], который стремится еще более унифицировать теорию поля, описывая гравитацию и электромагнетизм при помощи одного универсального тензора. Математическим аппаратом этой теории остается геометрия Римана. Однако, вместо четырехмерного, Калуза пользуется пятимерным континуумом, по отношению к которому пространство— время является подпространством, определяемым так называемым цилиндрическим условием. К этому направлению относятся также работы Клейна [32], Фока [33], Манделя [34] и других.
