Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
В 1928 году Эйнштейн предложил еще один вариант единой теории поля. Как известно, риманова метрика позволяет сравнивать
9 величины линейных элементов, построенных в точках, отделенных конечными расстояниями. Однако сравнение подобных элементов по направлениям невозможно; в частности, утрачивается понятие об их параллелизме. В отличие от этого, в геометрии Вейля линейные элементы, отделенные конечным расстоянием, несравнимы не только по направлению, но и по величине. Эйнштейн, отпргв-ляясь от геометрии Римана, избирает противоположный путь: удерживая риманову метрику, он дополняет ее условием сравнимости линейных элементов также по направлениям, вводя понятие о параллелизме вдали (Fernparallelismus) [351. При помощи этой геометрии Эйнштейн разрабатывает [36] теорию поля, показывая, что в первом приближении она дает удовлетворительное описание гравитации и электромагнетизма. В развитии этой теории принимают участие Леви-Чивита [37], Майер [38] и другие.
Упомянем еще о попытке построить теорию поля, основанную на представлении о кривизне и кручении пространственно-временного континуума [39|, а также о теории Эйнштейна и Майера [40], в которой совместное описание гравитации и электромагнетизма дается в рамках четырехмерной геометрии с помощью векторов с пятью компонентами (Funfvektoren).
Не останавливаясь на перечислении других попыток создания единой теории поля, заметим, что в одной из своих последних работ [41] Эйнштейн предлагает новое изложение обобщенной теории тяготения, основанной на несимметричном метрическом тензоре. Эту обобщенную теорию Эйнштейн считал вполне убедительной, хотя, как он сам признает, вследствие математических трудностей ему не удалось найти практического пути для сравнения результатов теории с экспериментальными данными.
Поскольку ни один из предлагавшихся до сих пор вариантов единой теории поля не содержит результатов, представляющих непосредственный астрономический интерес, в дальнейшем они не р ассматр иваются.
§ 2. Некоторые формулы геометрии Римана
Приведем некоторые формулы римановой геометрии, необходимые для дальнейшего изложения.
Прежде всего заметим, что метрика пространственно-временного континуума теории относительности в некотором отношении существенно отличается отобычнойметрикиримановых пространств. В простейшем случае это различие проявляется при сравнении эвклидовой геометрии с континуумом Минковского, употребляемым в специальной теории относительности. Пусть задана /!-мерная квадратичная форма с постоянными коэффициентами
Ф х) = ga&XaX? , ga? = g?a, а, ? = 1, . . . П.
1 Здесь, как и в дальнейшем (за исключением специально оговоренных случаев), одинаковые нижний и верхний значки являются индексами суммирования; в соответствии с общепринятым соглашением знак суммирования для простоты опущен.
10 Из теории квадратичных форм известно, что подобная форма всегда может быть приведена к каноническому виду
ф (х, х) = еаха\ Ea= +1, a = 1, ... г,
где г — ранг матрицы (ga?). образованной из коэффициентов приводимой формы. Для простоты предположим, что ранг матрицы совпадает с ее порядком, т. е. г = п.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду можно выполнить различными способами, применяя, например, методы Лагранжа или Кронекера. При этом приведении выполняется так называемый закон инерции Якоби — Сильвестра, согласно которому число положительных и отрицательных квадратов кононической формы не зависит от способа приведения. Обозначая эти числа соответственно через р и <7, имеем р + q = п. Разность р — q носит название сигнатуры квадратичной формы.
Следует различать случаи: 1) р = /г, 2) q = /г, 3) р ф п, q Ф п. В первых двух случаях квадратичная форма называется положительно или отрицательно определенной; в третьем — неопределенной.
Пространству Эвклида соответствует положительно определенная форма. В отличие от этого четырехмерное пространство Мин-ковского описывается линейным элементом
S2= -X2-*/2—Z2 + *2,
т. е. неопределенной квадратичной формой с сигнатурой —2. Таким образом, геометрия пространства — времени специальной теории относительности не является эвклидовой; ее можно назвать, как это часто делают, псевдоэвклидовой.
Аналогичное различие существует между римановой метрикой и метрикой пространственно-временного континуума общей теории относительности. Первая из них является положительно определенной; в частном случае она вырождается в эвклидову. Геометрия пространства—времени в общей теории относительности должна быть построена таким образом, чтобы в предельном случае она переходила в континуум Минковского с неопределенной квадратической формой. Поэтому геометрию пространства — времени в общем случае можно назвать псевдоримановой.
Несмотря на различие между определенной и неопределенной формами, свойства псевдоримановой геометрии во многих отношениях подобны свойствам геометрии Римана. Вследствие этого приведенные ниже формулы дифференциальной геометрии римановых пространств почти непосредственно переносятся в теорию относительности с неопределенной формой ее линейного элемента.
