Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
В дальнейшем мы будем пользоваться также понятием ковариантной расходимости тензора
DiVZj = Zfte, (I» 2,13)
т. е. свернутой ковариантной производной, представляющей собой новый тензор, порядок контр авар и антности которого на единицу ниже порядка контравариантности данного тензора.
Введем далее кривизну кривой в римановом пространстве. Направление кривой в данной точке характеризуется касательным вектором, контравариантными компонентами которого служат производные от координат по дуге кривой Составим отношение абсолютного дифференциала этого вектора к соответствую-D dt ~
щему элементу дуги 2~sdT' ^to отношение является вектором, нормальным к касательному. Длина его, как нетрудно убедиться, dtp ,
равна где а<р — угол поворота касательной, соответствующий
элементу ds. Этот вектор называется вектором кривизны кривой в данной точке. По определению имеем
п Q ы
ds ds ~ Cfs2 T laP as ds ' ^1' ^14'
2 735
17 Отсюда следует, что линии нулевой кривизны, называемые геодезическими, определяются в пространстве Римана уравнениями
(1.2.,5,
В эвклидовом пространстве геодезические, т. е. прямейшие линии, являются одновременно линиями кратчайшего расстояния и наоборот. В римановой геометрии кратчайшие линии, когда они существуют, являются также прямейшими. Однако в общем случае обратное утверждение оказывается неправильным.
Напишем уравнения геодезической линии в несколько иной форме, которой часто будем пользоваться в дальнейшем.
Одну из координат, например, последнюю х% обозначим через t. Соответствующее уравнение геодезической линии дает
__гп d^djfi(at\%
ds* ~~ a? dt dt [ds ) ' Поэтому очевидное соотношение
d*xa __ I dt Y
ds2 dt2 \ds) ^ ds* dt
можно представить в виде
d*xG _ UiXa _ гп d^dxP_(lf\ (dt_\2
ds2 "" [ dt2 dt dt dt J \ ds J 9
Внося это соотношение в каждое из п — 1 остальных уравнений геодезической линии, получаем
(Pxa /гс г" dx° I dxadx* п 9 lfiv
^w + (ra?~ra?-^-;— -Jg- = O. (I, 2,1b)
В теории кривизны римановых пространств фундаментальное значение имеет так называемый тензор Римана — Кристоффеля, характеризующий кривизну пространства в данной точке и в направлении данной двумерной плоскости.
Смешанные составляющие тензора Римана—Кристоффеля вы-оажаются формулами
лН яг'
Rll-'k = IJ IJ + rA -rA- (I'2'17)
Очень часто этот тензор задается при помощи ковариантных компонент
Rij, kl = glaRiiX Из его определения непосредственно вытекают равенства
Rii, ki = — Rji, ki = — Rij, ikf Rij, ki — Rki, ij,
показывающие, что тензор антисимметричен относительно
индексов пар /, / и Л, / и симметричен относительно пар индексов. Нетрудно также убедиться в том, что результат циклирования
id каких-либо трех индексов равен нулю. Вследствие этих тождественных соотношений, число компонент тензора Римана—-Кристоффеля, которые могут быть заданы независимо, значительно сокращается и связано с числом п измерений пространства формулой
KT _пЦп*- 1) /V — J2
Так например, для четырехмерного пространства число независимых компонент составляет 20. Тензор Римана—Кристоффеля позволяет установить общее соотношение между компонентами какого-либо тензора и альтернированной ковариантной производной этого тензора. Это соотношение, известное под названием тождества Риччи, имеет вид
Xab..piqr— ХаЬ..pirq = R^a, qrX(ob..p + • • • + R^p, qrXab..a>- (I> 2,18)
Ковариантная производная от тензора Римана—Кристоффеля образует тензор пятого порядка, удовлетворяющий следующему свойству цикличности
Ra?, уб Ii + R&i, у б/а + Ria, yo/? — (h 2,19)
которое носит название тождества Бианки—Падова.
Заканчивая перечень необходимых свойств тензора Римана-Кристоффеля, укажем еще, что исчезновение этого тензора является необходимым и достаточным условием вырождения римановой геометрии в эвклидову.
В теории относительности важную роль играет тензор Риччи, образуемый путем свертывания тензора Римана—Кристоффеля. Для ковариантных компонент тензора Риччи по определению имеем
Rii ^gatiRai. №= Ratah (1,2,20)
Как легко убедиться, тензор Риччи симметричен относительно индексов ковариантности, вследствие чего число его независимых
компонент равно ^ti (п + I). В частности, в пространстве четырех
измерений это число равно десяти.
В развернутой форме компоненты тензора Риччи выражаются формулами
дГа дГ^
= + Г*Г0Р + rW' (1'2,21)
которые нетрудно получить, воспользовавшись приведенным выше значением тензора Римана—Кристоффеля.
Если написать тождество Бианки—Падова в виде
Ra?, уб/і — R?i, oY/a — Rai9 yo/? = 0 2* 19 и произвести свертывание путем умножения на g00^, то после необходимых упрощений получится формула
Rlnу = ~2 Rlif
(I, 2,22)
выражающая расходимость тензора Риччи через градиент от его скаляра R = g<#Rafi.
Из тензора Риччи и его скаляра можно образовать симметричный тензор второго порядка
который мы условимся называть тензором Эйнштейна. Если написать значение для смешанных компонент этого тензора и составить его свернутую ковариантную производную, то, воспользовавшись приведенным выше выражением для расходимости тензора Риччи, нетрудно получить
