Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Элементарный расчет показывает, что спутник Земли, обращающийся непосредственно над земной поверхностью в плоскости экватора, имел бы период
Т = 2zlW Vir' (1,3,3)
где R — радиус Земли, g — ускорение силы тяжести, освобожденное от влияния вращения и сжатия Земли \ m, m' — инертная и тяжелая массы спутника.
у Mf
1 Строго говоря, эта величина определяется формулой g = —^r и является ускорением свободного падения лишь при выполнении равенства инертной и тяжелой масс в однородном поле тяжести.
22 Обозначим через M1 Mf и Mv M1' инертные и тяжелые массы Земли и Луны соответственно.
Согласно третьему закону Кеплера имеем
An2R3 т _ 4jt2flT
T2Mf т' ~ т* (М 4- Aj1) Mf м[
= Y.
где яь T1 — большая полуось и период геоцентрического обращения Луны.
Поэтому, принимая во внимание (I, 3,3), находим
В это соотношение нельзя, конечно, внести наблюдаемый сидерический период обращения Луны и найденное по параллаксу отношение R : GL1, так как третий закон Кеплера выполняется только при невозмущенном движении. Луна подвергается столь сильному возмущению, что третий закон Кеплера в ее движении нарушается. Однако в небесной механике доказывается, что закон Кеплера формально может быть сохранен, если вместо величины аъ вычисленной по среднему параллаксу, внести
где т—основной параметр динамической теории Луны, е — эксцентриситет земной орбиты. Таким образом, пользуясь соотношением (1, 3,4), необходимо заменить ау величиной аг' = = <V 1,0009135: При этом получится CL1 60,3216, поскольку по среднему параллаксу Луны получается aY : R 60,2665.
Вычисление по формуле (1, 3,4) дает M1 : М[ = 1,00003.
Итак, равенство инертной и тяжелой масс, а следовательно и вытекающий из него принцип эквивалентности выполняется с достаточно высокой точностью как в однородном поле гравитации, так и в ряде случаев движения в неоднородном поле.
Принцип эквивалентности позволяет формулировать закон движения частицы в заданном поле тяготения.
Фиксируем какую-либо точку мировой линии частицы в про-странственно-временном континууме. Согласно принципу эквивалентности в бесконечно малой окрестности этой точки движение частицы, отнесенное к соответствующим образом выбранной системе отсчета х1\ происходит так же, как в отсутствии поля. Поэтому в указанной системе отсчета движение частицы вблизи вы-
(Pxi'
бранной точки должно отвечать уравнениям = 0.
Иными словами, должен выполняться закон свободного движения частицы специальной теории относительности.
(I, 3,4)
23 Перейдем теперь от системы х'\ обеспечивающей выполнимость принципа эквивалентности в рассматриваемой бесконечно малой области пространственно-временного континуума, к произвольной системе Xі.
dxr дх1' dxa Дифференцируя равенство = у^- , имеем
(Pxr __ д*хг dxa ds$ дх1' (Pxa ds2 ~~ dxadx? dsds дха ds» '
Внося сюда соотношение
&х1' _ дх^_ га дх^_ рг
дх«дх* ~ дха a? дх*
непосредственно вытекающее из (I, 2,9) при соответствующей переделке индексов, и принимая во внимание, что в галилеевых координатах хг символы Кристоффеля тождественно исчезают, получим
d*xr _ дх1' !(Px0 рa dxa dx$ ] п „ -
"Sr ~~ аТ* V^r + ? "Л" ~dTl9 1 ' '
Это показывает, что при переходе к произвольным координатам (Pxi'
закон -^2 = 0 принимает вид
(Pxa . Г(Т dxa dx& n /т о
т. е. приводится к уравнениям геодезической линии (1,2,15). Таким образом в каждой произвольно выбранной точке мировая линия частицы соприкасается с геодезической линией пространствен-но-временного континуума; следовательно, мировая линия совпадает с геодезической.
Заметим, что в галилеевых координатах совокупность четырех
сfV"
производных -^r определяет контравариантный вектор; с кинематической точки зрения он представляет собой четырехмерное ускорение частицы. Согласно определению тензора равенство (I, 3,5) показывает, что левая часть уравнения (1,3,6) является выражением четырехмерных компонент вектора ускорения в произвольных координатах. Поэтому уравнения (It 3,6) можно рассматривать как обобщенный закон инерции Галилея.
Принцип эквивалентности в приведенной выше формулировке имеет чисто локальный характер, поскольку необходимый для его выполнимости переход от римановой метрики пространственно-временного континуума к метрике Минковского в общем случае возможен лишь в малой области. Переход к закону (1, 3,6) требует, чтобы риманова метрика с точностью до членов второго порядка совпадала с соприкасающейся эвклидовой метрикой, что имеет
24 место лишь в бесконечно малой окрестности какой-либо точки континуума. На конечное движение частицы принцип эквивалентности в обычной формулировке можно непосредственно распространить только в случае эвклидовой метрики пространства — времени в целом, т. е. для полей гравитации очень специального строения. Такими полями являются инерциальные поля механики Ньютона (центробежные, поля Кориолиса), которые исчезают при подходящем выборе системы отсчета. Переход к полю произвольного строения, требующий введения римановой метрики, с формальной точки зрения нарушает эквивалентность инерции и тяготения. В связи с этим некоторые авторы считают, что принцип эквивалентности, не имеет в теории относительности самостоятельного значения, а закон геодезической линии должен выводиться из уравнений поля. С особенной ясностью и последовательностью эта точка зрения развивается в работах акад. В. А. Фока, в частности в его монографии по общей теориц относительности [43].
