Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим /г-мерное пространство Римана, заданное квадратичной формой
ds2 = gijdx'dx1 > 0, (1,2,1)
Uкоэффициенты gii которой представляют собой ковариантные компоненты симметричного тензора второго порядка, называемого фундаментальным метрическим тензором. Эти коэффициенты являются функциями координат Xі % і S=Z 1, ... /г, зависящими от геометрии изучаемого пространства и от выбранной системы координат.
Определитель
gll ••• Sln
Bssss
gnl
gfl
составленный из компонент метрического тензора и называемый фундаментальным, имеет положительный Знак. Вследствие этого метрический тензор можно задать не только ковариантными, но также контравариантными компонентами
Sil=Y' (1'2,2)
где Aii—алгебраическое дополнение элемента gn в фундаментальном определителе.
Суммы вида gai gab представляющие собой результат свертывания тензора четвертого порядка gikgjh называются смешанными компонентами метрического тензора; они совпадают с так называемыми символами Кронекера
б'-= о ,1 + 1.
Действительно, выражение Aiagja есть не что иное, как сумма произведений элементов /-ой строки определителя Ig,-/1 на алгебраические дополнения элементов /-ой строки. Согласно известному свойству определителей, эта сумма равна величине определителя, если индексы /, / одинаковы, или нулю, если они различны.
Поэтому вообще
Л = 8{. (1,2,3)
Отсюда следует, что результат полного свертывания тензора gikgfi равен числу измерений пространства.
При помощи соответствующего преобразования координат коэффициенты квадратичной формы могут быть приведены к постоянным значениям, а следовательно и к величинам
в// =
1, / = /
О, і ф j
в том и только в том случае, если геометрия пространства является эвклидовой. Задача о подобном приведении является основной в теории криволинейных координат в пространстве Эвклида. Для
12случая ортогональных координат эта проблема впервые была решена Ламе в 1859 году.
В общем случае квадратичная форма однозначно определяется геометрией пространства и выбором системы координат. Обратная задача о реконструкции геометрии по квадратичной форме решается основной теоремой метрической геометрии, согласно которой все метрические свойства пространства содержатся в его линейном элементе.
Наиболее простой и удобный способ исследования пространства Римана основан на сравнении его с хорошо изученным пространством Эвклида. Оказывается возможным построить эвклидовы пространства, которые в первом и втором приближениях аппроксимируют пространство Римана в окрестности какой-либо произвольно заданной точки.
Пусть в точке Xi0 коэффициенты квадратичной формы будут #//<>. В смежной точке Xі + dx1 имеем
В первом и втором приближениях соответственно будет Єно, +
Введем пространство Эвклида с линейным элементом
do2 = у ijdx'dx1,
коэффициенты у// которого в точке X10 равны g//0. Это пространство называется касательным к риманову пространству. Понятие касательного пространства позволяет перенести в риманову геометрию целый ряд определений эвклидовой геометрии, например, определение угла между направлениями, построенными в данной точке, определения, связанные с линией, поверхностью, объемом и др. Однако обобщение ряда других геометрических понятий на случай римановой геометрии (например, понятие угла между направлениями, построенными в различных точках) оказывается здесь невозможным.
Рассмотрим далее эвклидово пространство с линейным элементом
da2 = yijdxdx1,
заданным таким образом, чтобы в точке Xi0 коэффициенты у// и их первые производные по координатам были соответственно равны
gijo, Это пространство, совпадающее в окрестности точки Xt0
с изучаемым римановым пространством во втором приближении, носит название соприкасающегося пространства Эвклида. Существование соприкасающегося пространства устанавливается, исходя из следующих соображений.
ІЗПусть даны метрические поля g>/, у//- Если в какой-либо системе координат в точке X1u имеют место равенства
dgif ду J
8ii = yth і?"ST*
то они выполняются в любой другой системе.
По отношению к первому равенству, имеющему тензорный характер, высказанное утверждение очевидно, так как тензорные уравнения сохраняются при общем преобразовании координат. Для второго равенства справедливость этого утверждения вытекает из соотношения
dSir _ ( Pxi дх> Fxi дх? \ дх дх1' дхк д8ц п 9 „
~~ giiWdxk' дх>" + dxW длГдхГ * 1 ' ' '
которое получается из формулы преобразования
_ дх1 дх1
giT " WWgu
путем дифференцирования. Согласно этому соотношению частные производные от компонент метрического тензора в новой системе координат зависят только от компонент того же тензора и их производных в старой системе. Поэтому, допустив написанные выше равенства в системе Xit приходим к заключению, что они выполняются и в системе Xі' .
В дифференциальной геометрии доказывается, что в пространстве Римана всегда можно построить координальную систему, в которой первые производные от компонент метрического тензора по координатам в одной произвольно заданной точке х[> равны нулю. Подобная система координат называется геодезической в точке Геодезическую систему координат можно построить для любой точки пространства Римана. Однако система геодезическая в одной точке вообще не является геодезической в какой-либо другой точке ри-манова пространства. Система геодезическая во всех точках может быть построена только в пространстве Эвклида.