Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Как показывает практика построения резонансных кривых при прохождении через резонанс для тех значений частоты внешней силы, для которых стационарная резонансная кривая близка к горизонтальной линии, кривые прохождения через резонанс мало отличаются от стационарных резонансных кривых даже при достаточно больших скоростях изменения частоты внешней силы. Кроме того, на характер резонансных кривых при прохождении через резонанс (на величину и положение максимума и т. д.) почти не влияют начальные условия в случае, если они не находятся непосредственно в резонансной зоне (т. е. в зоне частот, гДе амплитуда резко возрастает). Поэтому для численного интегрирования системы (19.38) в качестве начальных значений целесообразно принимать значения а, & и v, удовлетворяющие стационарному режиму вблизи резонансной зоны, но не в зоне быстрого возрастания амплитуд.
На преимущество интегрирования системы уравнений (19.38) по сравнению с непосредственным интегрированием уравнения (19.34) уже обращалось внимание, и поэтому подробно на этом останавливаться не будем.
Будем рассматривать случай, когда мгновенная частота внешней силы зависит от времени линейно:
V (X) = V0 + р/; (19.39)
при р>0 частота возрастает со временем, при [3<0— убывает. Скорость прохождения через резонанс зависит от значений [3. Чем больше по абсолютной величине ?5, тем скорее система проходит через резонанс.
Численно интегрируя систему уравнений при различных значениях получаем ряд кривых прохождения через резонанс, которые приведены на рис. 109, 110, 111. Для сопоставления со стационарным режимом на этих же рисунках приведены стационарные резонансные кривые, построенные согласно формулам § 15.
На рис. 112 и 113 приведены как стационарные резонансные кривые, так и кривые прохождения через резонанс для случая, когда
*) Этот вопрос подробно рассмотрен в нашей работе [31].
242
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
(Гл. III
Рис. 109
Рис. 110.
а
§;19] ВОЗДЕЙСТВИЕ «ПЕРИОДИЧЕСКИХ» СИЛ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 243
характеристика нелинейной восстанавливающей силы имеет вид, приведенный на рис. 114.
Анализ построенных резонансных кривых при прохождении^ через резонанс позволяет выявить ряд характерных особенностей этого сложного явления, а также влияние на него нелинейности системы. Этот вопрос
подробно рассмотрен в специальной литературе [31], и поэтому мы здесь укажем только на некоторые характерные особенности этого явления, резко отличающие его от обычного резонанса при стационарном режиме.
При прохождении через резонанс существенное влияние на резонансные кривые оказывает скорость изменения частоты внешней силы: при ее
Рис. ИЗ.
увеличении максимумы амплитуды снижаются, а острота первого максимума становится меньше остроты стационарной резонансной кривой.
После достижения первого максимума наблюдаются биения амплитуд, причем чем быстрее осуществляется прохождение через резонанс, тем характернее выражены после первого максимума несколько максимумов меньшей величины.
Если при стационарном резонансном режиме в системе вследствие нелинейности имеются точки разрыва амплитуды, то при прохождении
244
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
[Гл. III
через резонанс для соответствующих значений частоты наблюдаются резкие изменения амплитуды (особенно для медленного прохождения).
Максимумы амплитуды имеют место не в момент совпадения частоты возмущающей силы с собственной частотой системы, а позже или раньше, что зависит от скорости изменения частоты, характера нелинейности, а также от направления изменения частоты.
В каждом конкретном случае нелинейность накладывает специфический отпечаток не только на стационарную резонансную кривую, но и на кривые прохождения через резонанс, причем чем медленнее прохождение
через резонанс, тем сильнее сказываются особенности данной нелинейности.
Остановимся теперь на исследовании некоторых примеров нелинейных колебательных систем с переменными коэффициентами, в которых возможен более сложный резонанс.
В качестве первого примера рассмотрим поведение амплитуды при резонансе и-го рода в зависимости от режима изменения расстройки в колебательном контуре с регенерацией при помощи лампы. Этот пример в случае п — 2 при постоянной расстройке рассматривался нами в § 15.
тч „ V2-4(02
Ьсли расстройка 6 =
, FIX) f
/с\
0 /с
X,
-X
Рис. 114
со временем, то, как следующее уравнение:
d2x
нетрудно видеть, вместо
4ш2
(15.50)
dt2
+ X
= е(т)/(ж> Ti ’ 5(x)^) + ?'sm2«,
которое при помощи замены переменной
Е
X = Z ¦
sin 21
может быть приведено к виду
-g- + Z = e(T)/(Z-§sin2*, if--^cos21, 6(х)). Предположим, как и в § 15, что
/(*• #• «м)-1*м+2*-н**1-? +$&
X,
изменяется
получаем
(19.40)
(19.41)
(19.42)
(19.43)
причем для определенности положим:
А(х) = *0-2»^, ,(0 = т » = 0,013, у=-2, /о*
0,016 + ?(*) -0,05
, Х=0,016,
(19.44)
Тогда уравнение (19.42) принимает следующий вид:
0,016 f j / \ о f Е ¦ оЛ
-Jk('c) — 2( z—g-sinzzj-t-
d«2 'i~Z_ i-И (г)
+ т(*-Хsin
dz 2Е „Л . ? (г)
___со32^ + тт^
