Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 81

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 138 >> Следующая

Е
z —7г- sin 21 J. (19.45)
§ 19] ВОЗДЕЙСТВИЕ «ПЕРИОДИЧЕСКИХ,» СИЛ НА ВДЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 245
Воспользовавшись формулами (19.6) и (19.7) и полагая р = 1, q = 2, после ряда выкладок в первом приближении получим:
z — a cos (< + &),
где а и & должны быть определены из системы уравнений:
da . ч Г 1 Гл / \ , Т®2! I ТE*a , аЕ
^ = e^){ya[^) + VJ+V'
= s(t) I
-sin 2&
}•
dt
-W+4cos2& } •
(19.46)
(19.47)
Для построения графиков, характеризующих изменение амплитуды колебания при резонансе 2-го рода для различных режимов изменения расстройки ? (-с), необходимо, как и обычно, численно проинтегрировать систему уравнений (19.47).
Для определенности предположим, что расстройка изменяется за счет изменения собственной частоты «> колебательной системы, причем предположим, что 5 (х) изменяется согласно формуле
5(т) = 50 + «г. (19.48)
Подставляя это выражение в уравнения (19.47) и произведя численное интегрирование, получаем кривые, характеризующие зависимость а от 5 для различных значений а (рис. 115).
На этом же рисунке для сопоставления приведена резонансная кривая при стационарном режиме, построенная согласно формуле (15.72) (жирная линия).
Анализируя полученный график, можно сделать ряд выводов. Как и обычно, при увеличении скорости прохождения через резонанс максимумы резонансных кривых снижаются и смещаются. Резко бросается в глаза существенное отличие в поведении амплитуды колебания при прохождении через резонанс второго рода по сравнению с рассмотренным выше примером прохождения через обычный резонанс. В то время как при прохождении через обычный резонанс (см. рис. 110) после первого максимума резонансной кривой наблюдалось еще несколько максимумов меньшей величины, и таким образом, колебания носили характер затухающих биений, в данном случае амплитуда после достижения максимального значения непрерывно убывает, стремясь к нулю.
В качестве второго примера рассмотрим прохождение через параметрический резонанс.
Пусть на стержень длиной I с шарнирно закрепленными концами (рис. 116) действует «периодическая» продольная сила
Е0cos(
(19.49)
мгновенная частота которой _^‘==v('c)> медленно изменяясь со временем,
проходит через удвоенное критическое значение (для определенности положим через удвоенное первое критическое значение).
246
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
[Гл. III
Дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня можем записать в виде
(19.50)
где, как и в § 17, А — площадь поперечного сечения, EI — жесткость, 7 —плотность материала, из которого сделан стержень, g — ускорение силы тяжести.
Граничные условия будут
У
У
и поэтому путем подстановки
z
у = X Sin 1Г у
уравнение (19.50) можем свести к следующему:
о II о X д1у dz2 N II О 11 О
о II т д2У dz2 , = °> z=l )
(19.51)
d2x
-j- а)2 (1 — h cos 6) х = 0 ,
(19.52)
где обозначено:
h =
Е0Р EItz ’
v*=EISK'
Предположим, что = v(x) = v0 +at, изменяясь со временем, пройдет через удвоенное значение частоты ш. В этом случае для исследования колебательного процесса построим первое приближение, соответствующее
резонансу р= 1, q — 2. Для этого мы можем воспользоваться непосредственно формулами, выведенными выше для уравнения
(19.25). Итак, согласно (19.27) п (19.33) имеем:
х — a cos у 0 -j- & ) ,
где а и 8- должны быть определены из системы
da
dt
d%_
dt
ah<o2
2 (v0 + at) vft + a t
2
hu>- ,)Ц
' x-7---------------j tt COS 2d .
2 (v0 + a<) )
(19.53)
Задаваясь численными значениями h, ш, v0, a и интегрируя систему
(19.53) численно, получаем кривые прохождения через параметрический резонанс, приведенные на рис. 117.
ГЛАВА IV
ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
§ 20. Собственные одночастотные колебания в системах со многими степенями свободы
Колебательные системы со многими степенями свободы, и даже с бесконечным их числом, постоянно встречаются во многих актуальных проблемах современной техники.
Как известно, даже в случае, если колебания в таких системах описываются дифференциальными уравнениями, близкими к линейным, то приложение обычных асимптотических методов нелинейной механики, идея которых изложена нами выше, требует предварительного решения совокупности линейных дифференциальных уравнений с числом неизвестных пропорциональным числу степеней свободы, что создает значительные затруднения при практическом применении этих методов.
В колебательных системах со многими степенями свободы наличие неизбежного внутреннего трения, а также наличие внешних возмущающих сил приводят обычно к быстрому исчезновению высших частот, т. е. к установлению основного тона колебаний (или колебаний с какой-либо одной частотой (ofe). Поэтому целесообразно при исследовании системы со многими степенями свободы рассматривать одночастотный режим, т. е. колебания системы, при которых все точки нашей системы совершают колебания с одной и той же частотой.
Как будет видно из дальнейшего, построение асимптотических разложений в этом случае может быть произведено так, как если бы мы имели дело с колебательной системой с одной степенью свободы.
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed