Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 86

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 138 >> Следующая

N
arsVri (21.1)
г, s=i
и потенциальной энергией
N
V=Y 2 сгвЯгЯ$> (21-2)
г, s=t
где qs(s = 1,2, . .., N) — обобщенные координаты и ars, crs — соответственно инерционные и квазиупругие коэффициенты, причем ars = asr,
Сrs г'
Подставляя значения кинетической и потенциальной энергии (21.1) и (21.2) в уравнения Лагранжа, мы получаем дифференциальные уравнения невозмущенного движения в виде
N
2 К.?. + с™?.} = 0 (г=1,2, N). (21.3)
S=i
Предполагая, что возмущение определяется малыми обобщенными силами вида
Qr {Qii * * • > (7jv> • • • > qN, ®) ”
• * • «
= eQ?'{q i, .. .,qN,q1...qN) + e2^2) (qx, ...,qN, qx, .. ,,qN) + e3. . . (21.4)
(r= 1, 2......N),
приходим к задаче исследования следующих дифференциальных уравнений: N
2 {«.-.if.+ c„gs} =
s— 1
= sQ^(qx, ..., qN, qx, qN)+&2Qr^ (qt, • • ?jv, qlt ..., qN) + z3 ... (21.5)
(/• = 1, 2, ..., N),
которые при e = 0 вырождаются в уравнения (21.3).
Прежде чем переходить к применению результатов предыдущего параграфа к исследованию системы уравнений (21.5), остановимся на некоторых свойствах решений системы невозмущенных уравнений (21.3).
(21.9)
260 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [Гл. IV
Как известно, частные решения невозмущенной системы (21.3), соответствующие нормальным колебаниям, представляются выражениями:
qs = «p^fle4 <u>j(+6) + (l0>/+9>
(s, /=1,2, N)
или в вещественной форме
<7S = ?^j)a cos (a)jt + 0) (s, /'= 1, 2, . . N), (21.6)
где u)}-(/=l,2, . N) — собственные частоты, определяемые характеристическим уравнением
Z>||-arsU)2 + crJ = 0, (21.7)
?s3) («, / = li 2, N) — нормальные функции, являющиеся нетривиальными решениями системы однородных алгебраических уравнений
N
2 {-«гз^ + СгЛ?^0 (г,/=1,2, ш. ¦, N), (21.8)
S=i
обладающие свойством ортогональности
2 «„9fV’ = 0,
г, s=i
2 cr^r\il) = о (/ф1),
г, s—1
а а и 6 — вещественные произвольные постоянные.
Заметим далее, что вынужденные колебания, возбуждаемые в невозмущенной системе (21.3) гармоническими обобщенными силами
QT = Er cos (at + &) (r = 1, 2, ..., N), определяются выражениями:
qs = us cos (at + &) (s = 1, 2, . .., iV).
Постоянные амплитуды мг(г=1,2, ...,N) удовлетворяют системе неоднородных алгебраических уравнений
2 {-arsz* + crs}us = Er (г = 1, 2, . .., N), (21.10)
8=1
для решения которой воспользуемся нормальными координатами. Будем искать выражение для us(s= 1, 2, .. ., N) в виде сумм
«s = 2 Cftp (8=1,2, ..-.N), (21.11)
i= 1
где Cj — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению* Подставляя (21.11) в систему уравнений (21.10) и учитывая, что
?(J)(s,/=1, 2, N)
удовлетворяют системам однородных алгебраических уравнений (21.8), получим:
2 J й„Й-«г}с^ = ?г (r = 1, 2, . . ., N). (21.12)
3 — 1 s—1
§ 21] СИСТЕМЫ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ДИФ. УРАВНЕНИЯМИ 2-го ПОРЯДКА 261
Умножая эти уравнения соответственно на .. ., и сум-
мируя результат по г, находим:
2 с,-{а)'з?>— а2} 2 аг8'?з})?(г1) = 2 Er4rn). (21.13)
i= 1 S, Г— 1 r=l
Принимая во внимание ортогональность нормальных функций (выражения (21.9)) и вводя обозначения
2 arJVJ) = m] (/=1, 2, (21.14)
Ту S=1
находим:
N 2
~ 2 ^ ifk-"-) (S-1. 2, (21.15)
j=l 1
Таким образом, условие конечности вынужденных колебаний в случае, когда частота внешней силы а равна одной из собственных частот, например u)lt будет иметь вид:
2 ади = о. (21.16)
г= 1
При выполнении этого условия амплитуды вынужденных колебаний определяются формулой
N 2 Е^Г)
2^)тг7(1а,т=,»)- + сч>«1> (s = 1>2’ <21Л7>
3=2 ] 3
где С — произвольная постоянная.
После сделанных кратких замечаний о собственных и вынужденных колебаниях в невозмущенной системе (21.3) перейдем к исследованию системы возмущенных уравнений (21.5).
Как и в предыдущем параграфе, рассмотрим задачу о построении асимптотических приближенных формул для частных решений, соответствующих одночастотным колебаниям, близким (при малых е) к одному из нормальных невозмущенных колебаний (21.6), например к нормальному колебанию
<7? = <psVa cos (wj^t -j-0) (s = l,2, . . ., N) (21.18)
с частотой (Oj.
Чтобы удовлетворить условиям применимости метода, изложенного в предыдущем параграфе, необходимо сделать следующие допущения:
1. В невозмущенной системе возможны незатухающие гармонические колебания с частотой ш1г зависящие только от двух произвольных постоянных.
2. Единственным решением, соответствующим равновесию в невозмущенной системе, является тривиальное решение
<7i = <7г = • • • = Qn = 0.
3. Частота шх, а также ни один из ее обертонов 2wlt Зш1, .. ., кшг, . . . не равны какой-либо собственной частоте u>2, ...,wN невозмущенной системы (отсутствует внутренний резонанс).
262
ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ ЕГа. XV
При этих условиях мы можем применить наш метод и построить асимптотические разложения
qs = cos (ш^ -j-0) -(-eUg1’ (a, -j- 0) + e2Us2> (а, 0) -(~s3. . . (21.19)
(s = l, 2, ..., N),
в которых а и ф = + 0 определяются дифференциальными уравнениями
вида:
|=еЛ(а) + е2А(а)+е3
§-ш1 + вВ1(в) + в2Вя(в) + в8 ..
(21.20)
Функции Usu(a, и)xt + 0), Us2l(a, + 0), . . . (s = 1, 2, , N)\
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed