Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 77

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 138 >> Следующая

К правильному выбору структуры асимптотического решения уравнения (19.1) приходим, как и в предыдущих параграфах, из тех же физических соображений.
При отсутствии возмущения (е = 0) и при постоянном х решение уравнения (19.1) будет выражаться синусоидой с постоянными амплитудой и фазой колебания, определяемыми начальными значениями.
При наличии возмущения в решении могут появиться обертоны, гармоники комбинационных частот; могут возникнуть различные резонансы и другие явления, о которых мы уже говорили выше (§§1 и 13). Наличие же медленно меняющегося времени х (медленная изменяемость массы системы, коэффициента упругости, частоты внешней периодической силы и других параметров) также вызывает в системе ряд дополнительных явлений, не наблюдаемых в колебательных системах, описываемых уравнением (13.1). Так, например, как указывалось в § 8, здесь уже теряет смысл общепринятое понятие собственной частоты системы, так как в данном случае «собственная частота» а> (т) = будет также медленно изме-
няться со временем, зависимость мгновенной частоты внешней силы v(x) от времени будет влиять ра величину амплитуды колебаний и т. д.
Принимая во внимание все эти физические соображения, естественно, учитывая структуру асимптотических решений для уравнений (8.1) и (13.1), приближенное решение уравнения (19.1) искать в виде ряда
х = a cos ^у 6 + 8^ + гкх ^ х, а, О, ~~0 + ®'^) +
+ г2и2 (%, а, 0, -у 0 + 8^) + . . ., (19.3)
в котором ^ х, а, 0, ~ 0 + 8^ , и2 ^ х, а, 0, у 0 -)- 8^ , ... — периодические функции углов 0, у 0+ & с периодом 2 г, р и q, как ивыше,—некоторые небольшие взаимно простые числа, выбор которых зависит от того, какой резонанс мы собираемся исследовать, а величины а и 8 — функции времени, определяющиеся из следующей системы дифференциальных уравнений:
J=s,4г(х, а, &)+А42(т, а, &) + ..., )
м (19.4)
~ = Ш (х) - -Е V (х) + гВг (х, а, 8) + S2В2 (х, а, 8) + .. ., J
где (в (х) - ~j/r~ «собственная» частота системы, ~ = v (х) — мгновенная частота внешнего периодического возмущения, х = $г, а разность («(t)-yv(t) может изменяться в процессе колебания.
Для определения функций, стоящих в правых частях выражений (19.3) и (19.4), мы можем, как и обычно, найти, исходя из (19.3), выражения
doc d2x
для с учетом, разумеется, уравнений (19.4), полученные выра-
жения подставить в уравнение (19.1), приравнять коэффициенты при оди-
234
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
[Гл. III
наковых степенях г, после чего найти выражения для их а, 0, — 0 +
а, 0, у0 + &'), ..., а также, учитывая дополнительные условия
типа (1.8), выражения для Ах(у, а, &), B1(z, а, &), А2(т, а, &),
В2(т, а, &), ...
Можно эти функции найти и проще, воспользовавшись уравнениями гармонического баланса, которые в рассматриваемом случае имеют вид:
2nq
5 +*«*-
(19.5)
\ {¦й[И1^7*]+А(т)а;_
О
doc d^x
Подставляя в подынтегральные выражения значения х, ,
найденные из (19.3) с точностью до величин первого порядка малости с учетом того, что а и 0 являются функциями времени, удовлетворяющими уравнениям (19.4), и, произведя интегрирование, получаем уравнения типа (14.34) для функций ^(t, а, &) и Вх (т, а, &).
doc d^oc
Учитывая при подстановке х, также величины, пропорцио-
нальные i2, получим уравнения, определяющие A2(t, а, &) и В2(т, а, &).
После этих элементарных выкладок находим приближенные решения для уравнения (19.1).
В первом приближении решение уравнения (19.1) будет иметь вид
(19.6)
где а и 9- должны быть определены из системы уравнений первого приближения:
da
д = е^1(т. а> а)>
| = ‘»W-fv(x) + si?1(T, а, &),
(19.7)
в которой Аг(х, а, &) и Вг(т, а, 8-) — периодические по & с периодом 2тс частные решения системы
^-2а0(с)51 =
2ъ 2те
1 2 ei,s8 ^ ^ F0 (т, а, 0, ф) е~ioe8' cos ф е?6 е?ф,
о о
1 d [т (z) ш (т)]
[(в(т)—у V(T) ]
2те2то (т)
[«, (т) — -f-V (х) ] а^-14-2ш(х)41 =
(19.8)
т (-)
dz
1
2та 2та
2те2то (т)
о о
§ 19] ВОЗДЕЙСТВИЕ «ПЕРИОДИЧЕСКИХ» СИЛ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 235 В этой системе, как обычно, введено обозначение
F0 (х, а, 0, ф) = F (т, 0, a cos ф, — am (т) sin ф), = ф — ~в.
Во втором приближении имеем:
х = a cos ^-y0 + fr^ + SMi(^T, а, 0, -у0-(-&^), где а и & —решения следующей системы уравнений:
(19.9)
da
~ = вА1(т, а, в) + е2А;(т, а, Ь),
dt
— = о)(т)— — + a, &) + s2B2(x, а, 8-).
(19.10)
Здесь их ^х, а, 0, ~ 0 + 8-^ определяется формулой
их( Т, а, 0, — 0-(-&S) = 1 У. —-------}---ТТЛ------Гй2
? У 4п2пг (т) ш2 (г)—(n.u> (т)-l-«v (т))2
X
n, m
2 те 2тс
X ^ ^ /?0(т, а, 0, ф) е~* (п9+тФ) с?0 с?ф, (19.11)
о о
в-которой суммирование выполняется для значений п, т, удовлетворяющих условию nq + р (т + 1) Ф 0. В этом случае в правой части выражения (19.11) отсутствуют члены, знаменатели которых могут обращаться в нуль для любых т в инаервале 0<т<?. Л2(х, а, &) и В2(х, а, Ь) определяются из системы уравнений:
[(•) ~ j-* М ] - 2а«) (х) 52 =
дАх
вл
_ м , dm (т) Аг 1
дъ 1 Л л> (t) J
1
2п2т (т)
dx т (т
^ е”98, ^ ^ Fx (х, а, 0, ф) е—cos ф е?0е?ф,
(х)
о о
дВ,
+ 2м (х) А2 =
Г 95, , дВ, D дВч . с, л d
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed