Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 84

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 138 >> Следующая

2 Хя W («) - A?q - = 0,
. q~ 1
откуда находим выражения для А1(а) и В1(а):
2 ’ (“)
41(a)fieB1(e)=^;---------------. (20.28)
2 'Ра
9 — 1
Решая теперь уравнения (20.27), получаем в соответствии с (20.22) следующее выражение для функций и™ (а, ф):
41’ (а, ф) = 2 eim* { 2 zkq (imm) фьШ) («)} +
(—co<m<co\ ^q — i J
\ тф± 1 )
+ 2 {Ф"’ («) ~ (A (a) + ia flx (a)) 9q} + er^t 2 {ФГ (a) -
9=1 9 = 1
- (Аг (a) — ia Bt (a)) <p*} + Cx (a) %eгф + C\ (a) ?2е-*ф (20.29)
(&= 1, 2, ... , n),
содержащее две произвольные функции — вещественную и мнимую части Сх{а), не зависящие от ф.
Чтобы несколько упростить это выражение, заметим, что по определению миноров Dhq(p) имеем тождественно:
PDkq(P)~i ChrDrq(P)=KqD(p),
r= 1 n
PDkq(P)~ 2 CrqDkr(p) = bhgD(p),
r=l
где
1, k = q,
(20.30)
\ 0, к ф q.
Полагая в (20.30) p = m, видим, что при любом фиксированном q величины xh = Dhq (йо) удовлетворяют уравнениям (20.8) и, следовательно, должны быть пропорциональны <pft. Аналогично при любом фиксированном к Dkq (т) должны быть пропорциональны y^q.
254 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [Гл. IV
Таким образом, имеем:
Dh(l{m) = )^htr (20.31)
Дифференцируя (20.30) по р и затем полагая р = т, получим в силу
(20.31):
П
+ imDhя (г<0) - 2 chr Dm (г'ш) = % D' (г'ш). г= 1
или, учитывая ранее введенные обозначения,
П
-Pftf г mSkq - 2 chr Srq = Sh,. (20.32)
r=1
Таким образом, при любом фиксированном q величины yh = Shq удовлетворяют уравнениям:
71
- 2 скг Уг = v - (к = • • • - п)-
г— 1
Поэтому
h=l
откуда
2м, = ^Ц^^0, (20.33)
fe=i
поскольку корень р = т уравнения D (р) = 0 является простым.
Следовательно, видим, что знаменатель в формуле (20.28) всегда отличен от нуля.
Умножим теперь обе части (20.32) на <ря и просуммируем результат по q. Так как согласно (20.33)
П
2
D' (ico) ^
то будем иметь:
г‘ш (2 *VpJ - 2 скг 2 Srq<tq = 0, (20.34)
Q~1 r=1 9=1
и поэтому
п
2 shq?q = a?h< а = const (А=1, 2, ..., и).
9 = 1
Принимая во внимание полученные равенства и вводя вместо Сх (а) новую произвольную функцию
К (а) = Сх (а) — а [At (а) + ia Bt (а)],
i 20] СОБСТВЕННЫЕ ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 255
мы можем представить (20.29) в следующем виде:
Mft1’ (а. <!>)= 2 eim<p { 2 Zkq (im<o)Ф,т) (а)} +
( —oo<m<oo\ g = l
V m^±i )
+ е{ф{2 ^вФ«м(в) + * («)%}+ е-Ч{ 2 («) + ** («)?*} (20.35)
9=1 9=1
(А = 1, 2, ... , п).
Заметим, далее, что так как значения р = +г<и являются простыми корнями уравнения D (р) = 0, то они будут простыми полюсами функций
7 /п\____Dkg (Р)
hQ \Р) D(p) >
и поэтому на основании (20.31) можем написать:
о»=*(.»”-¦»)+д-i-ilf?;+..> +zt-м- <2о-зв>
где Zft,, (/>) является регулярной функцией в окрестности точек р = + й» • Поскольку по определению
г, __ Dk9 (i®) fee ?>' (ico) ’
то мы видим, что Skq будет значением регулярной части Zkg(p) в точке полюса р = гш:
(20.37)
Аналогично .S’*,, будет значением соответствующей регулярной части Zkq в точке полюса р — — гш:
5»'«=-2И%)+2Ь<»>- <-Ж^
В полученном нами выражении для функций иh1’ (а, ф) (к = 1, 2, ... , /г)
(20.35) содержатся две произвольные функции — действительная и мнимая части К (а). Для определения этих функций мы можем, как делали это ранее, наложить дополнительное требование, заключающееся в том, чтобы каждая из п функций и(а, ф) не содержала основной гармоники, так как подобное требование привело бы к 2п условиям.
В рассматриваемом случае воспользуемся следующим приемом. Возьмем какие-либо постоянные gv ... , gn и образуем линейную комбинацию:
g\uT(a> Ф)+ ••• +ёгпи">(а> Ф)- (20.39)
Потребуем, чтобы в разложении Фурье для функции (20.39) отсутствовал член с е^. Для этого необходимо, чтобы имело место следующее соотношение:
27S
^ [glH(r («> Ф) + • • • +gnu'n (а, ф)] е-{Мф = 0. (20.40)
о
Подставляя в (20.40) значения (а, ф) (к— 1, 2, .. . , п) (20.35), получаем одно линейное уравнение, из которого можем определить К (а).
256 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ (ГЛ. IV
В частности, если в качестве glf . .. , gn взяты вещественные величины, условие (20.40) будет эквивалентно условию отсутствия основной
гармоники у функции (20.39).
Найдя, таким образом, вещественную и мнимую части К (а) и определив тем самым, согласно (20.35), вид функций и(а, ф) (к = 1, 2, ..., п), перейдем к решению уравнений (20.26).
Как и в предыдущем случае, для того, чтобы эти уравнения обладали периодическим решением по ф с периодом 2тс, необходимо, чтобы выполнялось условие типа (20.21), т. е. чтобы
п 2 п п
2 Хь \ {2 .....“«’)-
к=1 0 r=1
ди111 ди#' ди(ь0> dui0> ->
—5р. —STA‘
Это условие дает нам возможность определить функции А2 (а) и В2 (а): А2 (а) + iaB2 (а) =
" ( " Зи(1> Ям<1> 1
-S Ц {scei*1.............ifw+zw............**
fc=l 0 r=l
2n 2 xm (20.41)
fe=l
Приняв это выражение для А2(а) и В2 (а), мы можем найти из (20.26) периодические функции i42> (а, ф) (к = 1, 2, ..., и).
Таким образом, мы можем теперь построить приближенные решения системы уравнений (20.1), соответствующие одночастотному колебательному режиму.
В первом приближении имеем:
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed