Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Так, например, если двузначная функция Ф (ж) имеет для верхней и нижней ветвей соответственно следующие значения:
Рис. 107.
Ф (ж) = Фх = const, а < ж < Ъ,
Ф (ж) = — Ф0 = const, а < ж < Ь,
то решение уравнения (18.2) (рис. 107) можно представить в виде
ж = я+Фi«. 0 < « < Ь-^,
ж^Фо[^-ф ^CtCib-a)^
(18.4)
и, следовательно,
Ф0®1
Фо®1
(18.5)
(18.6)
(18.7)
Обозначим:
Ь—а Ф0 + *1 ф0
“Ф0+Ф1 ’
тогда периодическое решение z(<p) можно записать следующим образом:
0<?<ъ. j (188)
z(f) = u + ~ ^ (2= — ч>). ?с < ? < 2г. j
Заметим теперь, что, поскольку выражение (18.8) представляет решение уравнения (18.2), функция z(<p) должна удовлетворять тождественно следующему соотношению:
u>z' (<р) = Ф[г(<р)].
(18.9)
Сделаем теперь в уравнении, описывающем вынужденные колебания
(18.1), замену переменных.
Введем вместо неизвестной ж новую неизвестную <р посредством формулы
ж = г(®). (18.10)
§ 18] ВОЗДЕЙСТВИЕ ПЕРИОДИЧ. СИЛ НА РЕЛАКСАЦИОННУЮ СИСТЕМУ 223
Дифференцируя (18.10) и подставляя в (18.1), получим:
ъ' (<р) = Ф [z(<p)] + зЕ cos it, (18.11)
или, учитывая тождество (18.9):
dtp . гЕ cos 4t . „ . _
i = (U + -^r- (18-12)
Преобразованное уравнение (18.12) уже не содержит в правой части неоднозначных функций.
Для удобства построения приближенных решений дифференциальных уравнений обычно желательно, чтобы правая часть была регулярной функцией. В уравнении (18.12) правая часть ввиду наличия в знаменателе разрывной функции ъ’ (<р) не удовлетворяет условию регулярности.
Для регуляризации уравнения (18.12) достаточно обратить роли переменных t и <р и в дальнейшем считать <р независимой переменной, a t неизвестной функцией <р, определяемой дифференциальным уравнением
=—Г- (18ЛЗ)
dy , eb COS v 7
т шЧ------------
Если обозначить через у положительную постоянную, такую, что
|Ф(ж)| > Y, а<.х<Ь, (18.14)
то согласно (18.9) и (18.10) имеем:
со | z' (<р) | > у- (18.15)
Предположим, что амплитуда гЕ внешней возмущающей силы меньше у. Тогда знаменатель в правой части (18.13) положителен и сама правая часть уравнения (18.13) является аналитической функцией неизвестной t. Уравнения типа (18.13) исследовались А. Пуанкаре и А. Данжуа. Однако при помощи результатов, полученных ими, можно выяснить только качественный характер решений. Для получения методики, дающей возможность производить количественные расчеты, воспользуемся методом усреднения, кратко изложенным в главе I.
Для приложения результатов § 1 к уравнению (18.13) разложим правую часть уравнения (18.13) в ряд по степеням г. Имеем:
d (\t)_ v гчЕ cos 4t e2vi?2 cos2 vi 3 HR
m a)2 z' (cp) a>3 \z' (cp)]2 " "
Будем исследовать уравнение (18.16) для резонансного случая.
Предположим, что отношение близко к некоторому рациональному
числу у, где, как и выше, р и q, вообще говоря, небольшие взаимно
простые числа.
Тогда, полагая
1 = 1- + &Л (18.17)
to q х '
224 ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ 1Гл. ш
и вводя новую переменную х по формуле
т = vi — — ш,
Я т
окончательно уравнение (18.16) можем записать в виде d«? \ q ® z (ср) J
Р
с2 г pH2 ".у ' 1 <1 ' У л*...V ‘ 7
„ cos2 Г — ср ) cos( Т + —ср
J^L---------гт-п* Л_М-------------------\ ? у I -f s3. .. (18.18)
V [z' (cp)J^ ш 2' (ср) J V J
Уравнение типа (18.18) мы условились выше называть уравнением в стандартной форме.
Приближенное решение этого уравнения может быть построено на основании принципа усреднения.
В первом приближении согласно результатам § 1 главы I решение уравнения (18.18) будет:
т = (18.19)
где ? определяется из усредненного уравнения
* zpE
cos ( s + ) ,
= гд (18.20)
йср ф I z (ср) ) v '
Раскроем операцию усреднения в правой части полученного уравне-Для Э‘
Имеем:
ния. Для этого необходимо разложить функцию —, - в ряд Фурье.
А + 2 cos (П(? + (18.21)
(02'(ср) Ф[г(ср)]
Пф О
Заметим теперь, что выражение
М |cos(re9 + »„) cos(^S + -|-9^|
может быть отлично от нуля лишь при Y~n' ® этом случае имеем: М {cos («9 + 8n) cos (? + п9)} = ^ cos (? — 9J.
Таким образом, если у Ф п, где п — целое число, то уравнение первого приближения (18.20) вырождается в следующее:
§ 18] ВОЗДЕЙСТВИЕ ПЕРИОДИЧ. СИЛ НА РЕЛАКСАЦИОННУЮ СИСТЕМУ 225
из которого находим:
т* в,
или
т = % = гА^ const,
мг — •
____р
т q
const,
9 = U)Z + <Po>
и, следовательно, в первом приближении
х = 2(шг + ?0).
(18.23)
(18.24)
Итак, в случае, если ¦?- фп, мы получаем для вынужденных колебаний в первом приближении такое же выражение, как и для свободных колебаний, когда внешняя сила sЕ cos 'it на систему не воздействует.
Таким образом, в первом приближении влияние малой внешней силы на форму и частоту колебаний оказывается пренебрежимым в случае, когда ее частота не является достаточно близкой к одному из обертонов собственной частоты.
Рассмотрим теперь случай, когда — равно некоторому целому чис-
Рис. 108.
лу т, что соответствует субгармоническому резонансу Из уравнения (18.20) находим:
втАт
т
dt_
dcp
- т ¦
-cos (? — &m).
(18.25)
Полученное уравнение значительно проще, чем соответствующие уравнения первого приближения (14.39) для системы, рассмотренной в § 14 настоящей главы, где мы получили систему двух дифференциальных уравнений относительно двух неизвестных — амплитуды и полной фазы колебания. В рассматриваемом случае релаксационных колебаний имеем лишь одно дифференциальное уравнение относительно фазового угла S, которое к тому же интегрируется в квадратурах.
